Cet exposé sera consacré à  une introduction à  la KK-théorie définie par Kasparov. Je commencerai par quelques rappels sur les modules de Hilbert. Je définirai ensuite la KK-théorie et je parlerai du produit de Kasparov en utilisant les connexions introduites par Connes et Skandalis. Si le temps le permet, je donnerai les définitions de deux généralisations de la KK-théorie dont nous aurons besoin par la suite.

Je commencerai par rappeller la définition des groupoïdes de Fredholm (une classe de groupoïdes pour lesquels on a une bonne caractérisation des opérateurs de Fredholm dans le calcul pseudodifférentiel qu’il engendre). Le but de l’exposé est de montrer qu’un tel groupoïde peut être caractérisé par ses réductions: plus précisément, un groupoïde $G$ est Fredholm si, et seulement si, toutes ses réductions $G_U^U$ sur des ouverts $U$ sont des groupoïdes de Fredholm. Comme résultat intermédiaire intéressant, on verra qu’on peut écrire le spectre primitif d’un groupoïde comme l’union des spectres de ses réductions sur des ouverts.

Je commencerai par quelques mots sur l’espace des idéaux primitifs d’une C*-algèbre. Puis, j’introduirai différentes familles de morphismes utiles pour caractériser le spectre des éléments d’une C*-algèbre, en particulier les familles exhaustives. Lorsqu’on veut montrer qu’une famille de morphismes est exhaustive, il est nécessaire de bien connaitre l’espace des idéaux primitifs. En m’appuyant sur les résultats de Williams, je donnerai une description de l’espace des idéaux primitifs lorsque la C*-algèbre est issue d’un produit croisé pour lequel le C* système dynamique associé a de bonnes propriétés topologiques. Grâce à  cette description, on peut construire facilement une famille exhaustive.

Je commencerai par quelques mots sur l’espace des idéaux primitifs d’une C*-algèbre. Puis, j’introduirai différentes familles de morphismes utiles pour caractériser le spectre des éléments d’une C*-algèbre, en particulier les familles exhaustives. Lorsqu’on veut montrer qu’une famille de morphismes est exhaustive, il est nécessaire de bien connaitre l’espace des idéaux primitifs. En m’appuyant sur les résultats de Williams, je donnerai une description de l’espace des idéaux primitifs lorsque la C*-algèbre est issue d’un produit croisé pour lequel le C* système dynamique associé a de bonnes propriétés topologiques. Grâce à  cette description, on peut construire facilement une famille exhaustive.

Je commencerai par quelques mots sur l’espace des idéaux primitifs d’une C*-algèbre. Puis, j’introduirai différentes familles de morphismes utiles pour caractériser le spectre des éléments d’une C*-algèbre, en particulier les familles exhaustives. Lorsqu’on veut montrer qu’une famille de morphismes est exhaustive, il est nécessaire de bien connaitre l’espace des idéaux primitifs. En m’appuyant sur les résultats de Williams, je donnerai une description de l’espace des idéaux primitifs lorsque la C*-algèbre est issue d’un produit croisé pour lequel le C* système dynamique associé a de bonnes propriétés topologiques. Grâce à  cette description, on peut construire facilement une famille exhaustive.

In this talk, I first review the method of layer potentials, with the emphasis on the double layer potential operator (also called Neumann-Poincar ́e operator) associated to the Laplace operator and a domain. Then I show that layer potential groupoids for conical domains constructed in an earlier paper (Carvalho-Qiao, Central European J. Math., 2013) are Fredholm groupoids, which enables us to deal with many analysis problems on singular spaces in a unified treatment. As an application, we obtain Fredholm criteria for operators on layer potential groupoids. This is joint with Catarina Carvalho.

La première partie de cet exposé constituera une introduction aux groupoïdes, en particulier ceux possédant une structure lisse : les groupoïdes de Lie. Nous verrons comment ceux-ci apparaissent naturellement dans l’étude des équations différentielles sur des variétés “singulières”. Je présenterai notamment l’exemple d’une variété possédant une singularité conique isolée, ainsi que le groupoïde qui lui est associé.

La première partie de cet exposé constituera une introduction aux groupoïdes, en particulier ceux possédant une structure lisse : les groupoïdes de Lie. Nous verrons comment ceux-ci apparaissent naturellement dans l’étude des équations différentielles sur des variétés “singulières”. Je présenterai notamment l’exemple d’une variété possédant une singularité conique isolée, ainsi que le groupoïde qui lui est associé.

En partant de l’article de Guentner, Willett et Yu, nous présenterons la notion de dimension asymptotique dynamique pour les groupoïdes étales, et ses liens avec la dimension asymptotique et la dimension nucléaire de certaines $C^{\ast }$-algèbres. Notamment, nous tenterons de prouver l’inégalité [ dim_{nuc} C^* G leq dim_{cov} G^{(0)} . dim_{dyn} G ] dans le cas d’un groupoïde libre, et de donner diverses applications.

“I’ll be happy to speak on any aspect of my Thursday talk”

We study maps on the level of topological K-theory of an ample locally compact Hausdorff groupoid G induced – for example – by a G-equivariant *-homomorphism. I will explain how to analyze these maps in terms of their restrictions to compact subgroupoids.

Suivant les travaux de H. Oyono-Oyono et de G. Yu sur les espaces métriques, nous construisons des applications d’assemblage à  valeurs dans la $K$-théorie contrôlée de la $C^{\ast }$-algèbre réduite d’un groupoïde étale $G$ muni d’une longueur propre. Nous relions ensuite ces applications à  l’application d’assemblage de Baum-Connes pour $G$, ainsi que les conjectures associées.

In the representation theory of locally compact groups the one-to-one passage between unitary group representations and representations of the corresponding group $C^{\ast }$-algebra obtained from $L^1(G)$ is a key tool that makes the rich toolbox of $C^{\ast }$-algebraic techniques available in the group context. For infinite dimensional groups there is no Haar measure and therefore no $L^1$-algebra that can be used to obtain a universal $C^{\ast }$-algebra. However, under certain semiboundedness requirements on spectra, one can use analytic continuations to obtain $C^{\ast }$-algebras whose representation theory cover the so-called semibounded unitary representations of Lie groups. This technique can even be used to construct $C^{\ast }$-algebras whose representations are precisely the unitary representations of certain Lie supergroups. The CAR algebra of the canonical anticommutation relations is the most basic example.

Ces deux heures d’exposé prendront la forme d’un mini-cours. Après des rappels sur la notion de front d’onde d’une distribution (due à  L. Hörmander), nous introduirons la notion de transversalité par rapport à  une submersion (due à  I. Androulidakis et G. Skandalis), et nous présenterons l’algèbre involutive des distributions à  support compact sur un groupoïde de Lie $G$, transversales par rapport à  la source et au but. Les opérateurs invariants à  gauche sur le groupoïde ($G$-opérateurs) admettant un adjoint sont ceux donnés par la convolution à  droite par une distribution bi-transversale. Nous introduirons la sous-algèbre involutive des distributions à  support compact dont le front d’onde est bi-transversal. Le front d’onde du produit de convolution de deux distributions dans cette algèbre est alors essentiellement donné par le produit des deux fronts d’ondes dans le groupoïde symplectique $T^{\ast }G$ de Coste-Dazord-Weinstein, que nous présenterons également.

Nous allons étudier le spectre essentiel des hamiltioniens avec interaction homogènes à  l’infini en utilisant les $C^{\ast }$-algèbres. Nous allons commencer avec une introduction au sujet.

De nombreux systèmes physiques sont soumis à  un phénomène de frottement: ils dissipent leur énergie dans leur environnement (champ, fluide, etc.) et ralentissent. Je propose dans cette présentation d’étudier un modèle quantique de frottement o๠une particule quantique interagit avec des champs scalaires quantifiés. Je présenterai une étude complète des propriétés spectrales de l’Hamiltonien fibré correspondant, qui établissent une première indication sur les propriétés dynamiques de la particule. Travaux en commun avec J. Faupin et S. de Bièvre.

Nous définissons la notion de famille exhaustive de représentations d’une C*-algèbre A. Si $mathcalF$ est une telle famille de représentations de A, alors un opérateur D affilié à  A est inversible si, et seulement si, $phi(D)$ est inversible pour tout $phiinmathcalF$. Cette propriété caractérise les familles exhaustives. Ensuite nous appliquons ces résultats aux familles paramétriques d’opérateurs (pseudo) différentiels et à  l’étude de leur spectre.