Calcul explicite de la paramétrisation modulaire sur les corps de fonctions par les courbes modulaires de Drinfeld

Date/heure
17 November 2022
14:30 - 15:30

Oratrice ou orateur
Valentin Petit

Catégorie d'évènement
Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz

La paramétrisation modulaire dans le cas des corps de fonctions est remarquablement différente du revêtement modulaire classique sur le corps des nombres complexes et fait appel à de nombreux outils théoriques. \
La situation est la suivante: soit $q$ une puissance d’un nombre premier, et soit ${\mathbb{F}}_q$ un corps à $q$ éléments. Soit $E$ une courbe elliptique non-isotriviale définie sur ${\mathbb{F}}_q(T)$ par une équation de Weierstrass de la forme
$$E:y^2+a_{1}xy+a_{3}y=x^3+a_2{x}^2+a_{4}x+a_6,a_i\in {\mathbb{F}}_q[T],$$
de mauvaise réduction multiplicative en la place $\mathrm{\infty }=1/T$.
Alors la paramétrisation modulaire est une application rationnelle $\varphi :{\bar{M}}_{\mathrm{\Gamma }}\to E$, où ${\bar{M}}_{\mathrm{\Gamma }}$ est la courbe modulaire de Drinfeld. Pour la construction de cette application nous avons besoin d’étudier les arbres de Bruhat-Tits et les fonctions thêta holomorphes.On s’intéressera plus particulièrement au calcul de l’image des pointes de ${\bar{M}}_{\mathrm{\Gamma }}$ par $\varphi$. Les résultats seront illustrés à travers quelques exemples.