Je proposerai une excursion aux « Fondements mathématiques » (dans le sens de l’intitulé d’une unité de notre L1 que j’étais amené à enseigner à Nancy pendant ces dernières années) : depuis le 19e siècle, la théorie des fondements des nombres et de l’analyse réels, et celle de la théorie des ensembles, se sont nourries mutuellement (Dedekind, Cantor,…). Au 20e siècle, cette interaction a pris un nouveau tournant : du coté théorie des ensembles, l’univers de von Neumann permet de sortir indemne de la « crise des fondements » ; du coté de la théorie des nombres, John Horton Conway proposa, dans son livre « On Numbers and Games » (connu sous le sigle ONAG), une nouvelle approche qui permet de voir les nombres réels dans un cadre beaucoup plus vaste de « tous les nombres » (« All Numbers Great and Small »). Le terme « nombres surréels », crée par Donald Knuth dans son livre Surreal numbers – how two ex-students turned on to pure mathematics and found total happiness (qui est paru même avant ONAG), est un peu malheureux car il suggère une analogie avec le courant d’art de même nom, ce qui est trompeur. Dans cet exposé, je tenterai de vous expliquer que ces nombres sont aussi réels que tout objet mathématique vivant dans l’univers mathématique, et pour lequel l’univers de von Neumann fournit un modèle. Il s’agit d’un travail en cours, loin d’être terminé.

(Joint Work with Michele Serra.)

In his paper  » Automorphisms of fields of formal power series » (Bull. Am. Math. Soc. 50, 1944) Otto Schilling described the automorphism group of k((t)), the field of Laurent series with coefficients in a ground field k and exponents in the group of integers. In our paper « The automorphism group of a valued field of generalised formal power series » (J. Algebra 605, 2022) we generalise his results to the case when the exponents lie in an arbitrary abelian group. In particular, our results apply to a variety of such fields, e.g. to the field of Puiseux series, of multivariate rational functions, of multivariate Laurent series, or to the field of surreal numbers.
The talk will be self contained talk and geared towards a general audience.

Dans son article `On a theorem of Jordan’, Serre considère la famille de polynômes $f_n(X) = X^n-X-1$ et la fonction qui compte le nombre de racines de $f_n$ dans le corps fini $F_p$ en tant que fonction de $p$. Il montre explicitement la ‘modularité’ de cette fonction pour $n=3,4$. Dans cet exposé, je parlerai d’un article en commun avec Alfio Fabio La Rosa et Chandrashekhar Khare dans lequel nous traitons le cas $n=5$ de plusieurs manières.

Dans le présent exposé, nous commençons par une introduction aux fonctions
génératrices et aux différentes méthodes permettant d’obtenir des formules
asymptotiques pour leurs coefficients. Après une excursion dans les nombres de
Fibonacci et les nombres catalans, nous introduisons les partitions d’entiers en
entiers. Autour de ce problème introductif, nous présentons la méthode du col et
ses applications. Ensuite, nous nous concentrons aux variants et des résultats récents. À la fin de l’exposé, nous présentons les travaux en cours
et des problèmes ouverts.

Dans cet exposé, nous présenterons une méthode simple et efficace, qui a ses origines dans les travaux de Baker et Montgomery, et qui permet de produire des changements de signe de sommes de certaines fonctions multiplicatives réelles. Nous illustrons ensuite deux applications aux sommes de caractères de Dirichlet quadratiques ainsi qu’aux sommes de fonctions multiplicatives aléatoires de Rademacher. Ceci est basé sur un travail en commun avec O. Klurman et M. Munsch.

In 1964, Hooley proved that for an irreducible polynomial $p$ in $\mathbb{Z}[x]$, the ratios $v/n$ for $v$ roots of the polynomial $p$ modulo $n$, are equidistributed modulo $1$. We prove joint equidistribution of these roots of polynomial congruences and polynomial values. As part of the proof, we generalize a result of Montgomery and Vaughan regarding exponential sums with multiplicative coefficients to the setting of Weyl sums.

La fonction Delta d’Erdős-Hooley mesure la concentration des diviseurs d’un entier dans un intervalle dyadique. Récemment, Ford Koukoulopoulos et Tao ont amélioré l’encadrement de l’ordre moyen de cette fonction dû à Hall et Tenenbaum. Nous expliquerons les idées nouvelles de ces auteurs et expliquerons comment dans un travail en collaboration avec Gérald Tenenbaum nous avons précisé leur encadrement.

Dans un travail en commun avec Régis de La Bretèche et Daniel Fiorilli, on considère certains moments pondérés correspondant à la distribution des substitutions de Frobenius dans les classes de conjugaison des groupes de Galois d’extensions normales des rationnels. La question s’inspire de résultats de Hooley et de progrès récents de La Bretèche–Fiorilli concernant les moments de la distribution des nombres premiers en progression arithmétique. Tout comme dans ces travaux antérieurs, nos résultats sont conditionnels à GRH et confirment que les moments considérés devraient être gaussiens. Si le temps le permet, nous mentionnerons une autre notion de moments pour laquelle certaines structures de groupes de Galois excluent un comportement gaussien.

Séminaire commun avec l’équipe Probabilités et Statistique.

Le lemme de Hensel pour les fonctions polynomiales $p$-adiques $f: \mathbb{Z}_p\rightarrow \mathbb{Z}_p$ permet de déduire l’existence d’une solution de $f(x)=0$ à partir de l’existence d’une solution approchée. E. Y. Axelsson et A. Khrennikov (2016) ont étendu le lemme de Hensel aux fonctions $1$- et $p^\alpha$-Lipschitz et ont posé la question concernant une généralisation de leur résultat aux fonctions continues $p$-adiques générales. L’objet de cet exposé est de présenter cette généralisation, obtenue dans un travail récent en collaboration avec H. Kaneko.

Les propriétés des chiffres des nombres premiers et de diverses autres suites de nombres entiers ont suscité beaucoup d’intérêt ces dernières années. Pour tout nombre entier naturel $k$, nous notons $\overleftarrow{k}$ le miroir de $k$ en base 2, défini par
$$
\overleftarrow{k} = \sum_{j=0}^{n-1} \varepsilon_j\,2^{n-1-j}
\quad
\mbox{ où }
\quad
k = \sum_{j=0}^{n-1} \varepsilon_{j} \,2^j
$$
avec $\varepsilon_j \in \{0,1\}$, $j\in\{0, \ldots, n-1\}$, $ \varepsilon_{n-1} = 1$. Une question naturelle est d’estimer le nombre de nombres premiers $p\in \left[2^{n-1},2^n\right[$ tels que $\overleftarrow{p}$ est également premier. Nous présenterons un résultat fournissant une majoration de l’ordre de grandeur attendu. Notre méthode est fondée sur une technique de crible. Elle nous permet aussi d’obtenir une bonne minoration du nombre de nombres entiers $k$ tels que $k$ et $\overleftarrow{k}$ ont au plus 8 facteurs premiers (comptés avec multiplicité). Enfin, nous présenterons une formule asymptotique pour le nombre de nombres entiers $k\in \left[2^{n-1},2^n\right[$ tels que $k$ et $\overleftarrow{k}$ sont sans facteur carré.

Il s’agit d’un travail en commun avec Cécile Dartyge, Bruno Martin, Joël Rivat et Igor Shparlinski.

Soient $N\geq 1$ et $\chi_1,…,\chi_N$ des caractères de Dirichlet primitifs, pairs et deux à deux distincts, de conducteur $q_1$, …, $q_N$ respectivement. Posons

\[F(s):=\sum_{j=1}^N c_j\varepsilon_jq_j^{s/2}L(s,\chi_j),\]

où $(\varepsilon_j)$ sont des complexes de module 1 tels que $F$ satisfasse une équation fonctionnelle et $c_j\in\mathbb R^*$. Nous distinguons les zéros de $F$ en deux catégories : des zéros dits triviaux, impliqués par cette équation fonctionnelle, et des zéros dits non-triviaux, confinés dans une bande verticale $V$. Nous notons $N(T)$ le nombre de zéros de $F$ dans le rectangle $\{z\in V:\Im(z)\in[0,T]\}$ et $N_0(T)$ le nombre de ces zéros étant sur la droite critique.

A la fin des années 90, Selberg donna les grandes lignes d’un raisonnement prouvant qu’une proportion positive de zéros non-triviaux de $F$ sont sur la droite critique, en établissant que

\[\kappa_F:=\liminf_T\frac{N_0(2T)-N_0(T)}{N(2T)-N(T)}\geq \frac c{N^2}\]

pour un $c>0$. Nous proposons alors d’améliorer et d’expliciter cette minoration, en démontrant en particulier que

\[\kappa_F\geq \frac{2.16\times 10^{-6}}{N\log N},\]

pour tout $N$ assez grand.

The twin prime conjecture asserts that there are infinitely many primes p for which p+2 is also prime. This conjecture appears far out of reach of current mathematical techniques. However, in 2013 Zhang achieved a breakthrough, showing that there exists some positive integer h for which p and p+h are both prime infinitely often. Equidistribution estimates for primes in arithmetic progressions to smooth moduli were a key ingredient of his work. In this talk, I will sketch what role these estimates play in proofs of bounded gaps between primes. I will also show how a refinement of the q-van der Corput method can be used to improve on equidistribution estimates of the Polymath project for primes in APs to smooth moduli.

Dans cet exposé, nous présenterons la théorie de base des formes modulaires de poids demi-entiers
et quelques progrès récents sur les changements de signes des coefficients de Fourier d’une forme primitive de poids demi-entiers.
Il s’agit d’un travail en collaboration avec Bin Chen et Yichao Zhang.

Le problème de Danzer (1961) pose la question de savoir s’il existe un ensemble de densité finie (i.e. « ne contenant pas beaucoup de points ») intersectant tout corps convexe de volume unité. Il a attiré à lui une somme considérable de travaux regroupant un large spectre des mathématiques modernes.

Nous nous intéresserons à une approche récente obtenue en relâchant la contrainte de volume. Ceci conduit au problème de la construction de forêts dites denses qui entretient des liens très étroits avec des problèmes de répartition modulo un et d’approximation diophantienne. Nous présenterons des constructions de telles forêts denses découlant de l’analyse harmonique et de l’estimation de sommes exponentielles.

Lagrange spectrum is related to the rational approximations of badly approximable numbers. The discrete part of the spectrum is denoted in terms of Christoffel words. Multiplicative analogy of Lagrange spectrum was recently investigated, which is defined by rational approximations of geometric sequences and more general linear recurrence. Dubickas essentially found the relation of the discrete part of the multiplicative Lagrange spectrum and the limit sup words on the shift spaces with alternate order. Liao and Steiner found that such words are also related to the negative beta expansions. On this talk, we shall investigate limit sup words on more general ordered shift spaces. Such words are related to generalized beta expansion.

This is a joint work with Wolfgang Steiner.

Nous étudions la taille des ensembles de points dans l’intervalle unitaire dont les orbites sous les systèmes dynamiques x2 et x3 tombent simultanément dans une famille donnée de boules rétrécissantes (cibles rétrécissantes). Une loi zéro-un pour la mesure de Lebesgue de tels ensembles est établie. La formule des dimensions de Hausdorff est également obtenue lorsque les rayons des boules diminuent de façon exponentielle. Nous soulignons qu’une partie de la formule dimensionnelle est établie en admettant la fameuse conjecture abc. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Bing Li, Sanju Velani et Evgeniy Zorin.

A set of integers greater than 1 is primitive if no member in the set divides another. Erdős proved in the 1930s that the sum of 1/(a log a), ranging over a in A, is uniformly bounded over all choices of primitive sets A. In the 1980s he asked if this bound is attained for the set of prime numbers. In this talk we describe recent work which answers Erdős’ conjecture in the affirmative. We will also discuss applications to old questions of Erdős, Sárközy, and Szemerédi from the 1960s.

Dans cet exposé, nous allons explorer certains chemins polygonaux, que nous appelons les  »chemins de Legendre »,  et qui encodent des informations sur les valeurs du symbole de Legendre modulo un nombre premier p. Plus précisément, le chemin de Legendre modulo p est défini comme étant le chemin polygonal dont les sommets sont aux points (j, S_p(j)) pour 0≤j≤p-1, où S_j(p) est la somme (normalisée) des valeurs du symbole de Legendre (n/p) pour n entre 0 et j. En effet, nous allons considérer les questions suivantes lorsqu’on varie le premier p : Quelle proportion du chemin est au dessus de l’axe des x ? Comment se comportent les pics de ces chemins ? Et finalement est ce que ces chemins possèdent une loi limite lorsque p→+∞? Nous allons découvrir que certaines de ces questions correspondent à des problèmes importants en théorie analytique des nombres, tels que l’étude de la taille du plus petit non-résidu quadratique, ainsi que du maximum des sommes de caractères de Dirichlet (dans l’esprit de l’inégalité de Pólya-Vinogradov). Parmi nos résultats, nous démontrons que lorsque le premier p varie entre Q et 2Q et Q →+∞, ces chemins convergent en loi, dans l’espace de Banach des fonctions continues sur [0,1], vers une certaine série de Fourier aléatoire dont les coefficients sont construits en utilisant les fonctions multiplicatives aléatoires de Rademacher. Ce dernier résultat est obtenu en collaboration avec Ayesha Hussain.