Dans un travail récent avec Sandro Bettin (Gênes) nous étudions dans un cadre général les applications $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{C}$ qui satisfont des relations fonctionnelles du type suivant: pour tout $\gamma \in \mathrm{S}\mathrm{L}(2,\mathbb{Z})$, la différence $h_{\gamma }(x):=f(\gamma x)–|cx+d{|}^{-k}f(x)$ est régulière en un certain sens. Ici $k$ est un nombre complexe. Les exemples naturels incluent notamment les intégrales d’Eichler de formes modulaires ou de formes de Maass, ou encore des sommes de cotangentes.
On s’intéressera plus particulièrement au cas $k\ne 0$, et à l’existence de fonctions limites permettant de prédire la répartition des valeurs prises par f sur des rationnels dont le dénominateur tend vers l’infini.

A lattice point $P\in {\mathbb{Z}}^k$ $(k\ge 2)$ is said to be visible if there is no other lattice point lying on the line segment joining $P$ and the origin. We study the distribution of generalized visible points (along curves) in random walk paths on ${\mathbb{Z}}^k$. This a joint work with Meijie Lu and Xianchang Meng.

Bourgain (2015) a estimé le nombre de nombres premiers avec une
proportion positive de chiffres préassignés en base 2. Nous
rappellerons tout d’abord une généralisation de ce résultat à toute
base $g\ge 2$. Nous présenterons ensuite un résultat plus récent pour
l’ensemble des carrés. Plus précisément, pour toute base $g\ge 2$,
nous obtenons une formule asymptotique pour le nombre de carrés avec
une proportion $c>0$ (explicite) de chiffres préassignés.

Notre preuve suit principalement la stratégie développée par Bourgain
pour les nombres premiers en base 2, avec de nouvelles difficultés
pour les carrés. Elle est fondée sur la méthode du cercle et combine
des techniques d’analyse harmonique avec les propriétés arithmétiques
des carrés et des majorations des sommes de Weyl quadratiques.

Soit $\epsilon >0$. Soit $f$ une fonction multiplicative de Steinhaus ou Rademacher. Dans cet exposé nous montrons que presque sûrement
$$\sum _{n⩽x}f(n)\ll \sqrt{x}({\log }_{2}x{)}^{\frac{1}{4}+\epsilon }$$
lorsque $x\to +\mathrm{\infty }$. Grâce à la minoration de Harper, cela donne un majorant optimal des fluctuations de la quantité $\sum _{n⩽x}f(n)$ lorsque $x$ est très grand.

L’exposé aura pour objectif de présenter une synthèse des méthodes et résultats relatifs aux moyennes friables de fonctions arithmétiques, principalement, mais non exclusivement, multiplicatives. Dans ce cadre, des résultats récents, obtenus en collaboration avec Régis de la Bretèche, sont relatifs à des fonctions oscillantes dont la série de Dirichlet est analytiquement proche d’une puissance réelle négative de la fonction zêta de Riemann. Des applications seront décrites.

En 1853, Tchebychev a remarqué que, pour la plupart des réels $x\ge 2$, il y a une prédominance des nombres premiers $\le x$ congrus à $3$ modulo $4$ par rapport aux nombres premiers $\le x$ congrus à $1$ modulo $4$. Depuis, plusieurs généralisations de ce phénomène ont été étudiées, notamment dans le cas des courses de nombres premiers à plusieurs compétiteurs par Y. Lamzouri. Dans cette présentation, j’exposerai des résultats relatifs à la généralisation des travaux de Y. Lamzouri dans le contexte des anneaux de polynômes sur les corps finis. J’évoquerai également des résultats concernant les courses de polynômes irréductibles à 2 compétiteurs. En particulier, je donnerai des exemples de courses de polynômes irréductibles à 2 compétiteurs où les densités s’annulent.

Depuis leur introduction par Borel en 1909, les nombres normaux ont fait l’objet de nombreuses constructions diverses.
Si il n’existe aucune construction simple d’un nombre absolument normal, c’est à dire normal en toute base entière, différentes méthodes algorithmiques existent pour en générer.
Un grande partie du travail que j’ai effectué au cours de ma thèse a consisté en la fusion de deux algorithmes de construction de nombres normaux dans un plus grand ensemble de bases : le premier, par Madritsch, Scheerer et Tichy (2016) construit un nombre normal en toutes bases Pisot et le second, par Becher et Yujhtmann (2017) un nombre normal et toutes bases entières ainsi qu’en base fractions continues. Dans le cadre de cet exposé je présenterai le fonctionnement d’un algorithme de construction d’un nombre normal en bases Pisot et fractions continues, et traiterai de l’impact de la propagations de retenues en bases Pisot.

We prove the following structural result, resembling the Arithmetical Regularity Lemma of B. Green, and Graph Container Theorem in hypergraphs:
Lemma: Let $A_1,A_2,\dots ,A_k\subset {\mathbb{F}}_p$ be such that $|A_i|\gg p$ for all $i$. Assume that $(A_1\ast A_2\ast \dots \ast A_k)(a)=o(p^{k-1})$ for some $a\in {\mathbb{F}}_p$.
Then there exist sets $W_1,\dots ,W_k$, which we call wrappers, and sets $Y_1,\dots ,Y_k$, such that:
$(W_1\ast W_2\ast \dots \ast W_k)(b)=o(p^{k-1})$ for some $b\in {\mathbb{F}}_p$ , $A_i\setminus Y_i\subseteq W_i$ and $|Y_i|=o(p)$ for all $i$, $|W_i{|}_{\omega }=p^{o(1)}$ for all $i$, where $|\cdot {|}_{\omega }$ is a Wiener norm.
As a consequence of wrappers having a small Wiener norm, we obtain the following results.
If $A(A+A)$ does not cover all nonzero residues in ${\mathbb{F}}_p$, then $|A|⩽p/8+o(p)$.
If $A$ is both sum-free and satisfies $A=A^{\ast }$, then $|A|⩽p/9+o(p)$.
If $|A|\gg \frac{\log \log p}{\sqrt{\log p}}p$, then $|A+A^{\ast }|⩾(1–o(1))min(2\sqrt{|A|p},p)$.
Constants 1/8, 1/9, and 2 are optimal.
To obtain this result, we use Croot-Laba-Sisask Lemma and properties of Wiener norms.
This continues the work of A. Balog, K. Benjamin, P.-Y. Bienvenu, K. Broughan, F. Hennecart, B. Murphy, M. Rudnev, I. Shkredov, I. Shparlinski, and E. Yazici.

Among all positional numeration systems, the widely studied Bertrand numeration systems are defined by a simple criterion in terms of their numeration languages. In 1989, Bertrand-Mathis characterized them via representations in a real base $\beta$. However, the given condition turns out to be not necessary. In this talk, I will present a correction of Bertrand-Mathis’ result. The main difference arises when $\beta$ is a simple Parry number, in which case two associated Bertrand numeration systems are derived. Along the way, we define a non-canonical $\beta$-shift and study its properties analogously to those of the usual canonical one.

Dans cet exposé, je présenterai les différents résultats de ma thèse. Ces travaux se situent à l’intersection entre les mathématiques et l’informatique théorique.

Une suite pseudo-aléatoire, bien qu’engendrée par un algorithme déterministe, possède un comportement proche de celui d’une suite aléatoire. Nous nous intéressons à différentes mesures de complexité d’une suite pseudo-aléatoire, qui décrivent le comportement d’une suite aléatoire. De l’autre côté du spectre, les suites automatiques sont des suites profondément non aléatoires. La suite de Thue—Morse et la suite de Rudin—Shapiro sont des célèbres exemples de suites automatiques. Cependant certaines sous-suites des suites automatiques, comme les sous-suites polynomiales, sont bien plus aléatoires.

Dans un premier temps, nous exposerons les résultats des deux premiers articles. Ces deux articles étudient la complexité d’ordre maximal d’une suite, qui quantifie l’imprédictibilité d’une suite par un registre à décalage à rétroaction (FSR). Le premier article répond à une question de Sun et Winterhof (2019) sur la complexité d’ordre maximal de la suite de Thue—Morse le long de tout polynôme unitaire. Nous étudions ensuite le système de numération de Zeckendorf et sa fonction somme des chiffres est une suite morphique non-automatique. La suite de Fibonacci—Thue—Morse est l’analogue à celle de Thue—Morse en base de Zeckendorf. Le deuxième article étudie la complexité d’ordre maximal de cette suite le long de tout polynôme et nous montrons un résultat relativement différent à précédemment.

Ensuite, nous exposerons les résultats du troisième article. Nous nous intéressons à la somme des chiffres binaires des carrés parfaits. Le premier résultat est dans la lignée des travaux de Hare, Laishram et Stoll sur les entiers impairs qui ont le même poids de Hamming que leur carré. Nous résolvons une partie des cas restants de leur étude. Le second résultat porte sur les carrés parfaits de poids 4 et 5 et démontre partiellement une conjecture de Benett, Bugeaud et Mignotte.

La dernière partie de cette thèse porte sur les corrélations d’ordre $k$ de la suite de Rudin—Shapiro. Nous suivons les travaux de Aloui,Mauduit et Mkaouar sur les corrélations de la suite de Thue—Morse le long des premiers et établissons un résultat partiel sur les corrélations de la suite de Rudin—Shapiro le long des premiers.

La conjecture d’Artin stipule que l’ensemble des nombres premiers pour
lesquels un entier $a$ différent de $-1$ ou un carré parfait est racine
primitive admet une densité asymptotique parmi tous les premiers. En 1967
C.Hooley démontra cette conjecture sous l’hypothèse de Riemann généralisée.

La notion de racine primitive peut être étendue modulo un entier quelconque
en considérant alors les éléments du groupe multiplicatif engendrant des sous-
groupes de tailles maximales. Je parlerai de l’ensemble des presque premiers
pour lesquels un nombre $a$ est racine primitive généralisée, et montrerai que
l’on obtient, sous GRH, des résultats similaires à la conjecture d’Artin pour
les racines primitives.

Les Éléments de mathématique désignent une vaste entreprise éditoriale menée par le groupe Nicolas Bourbaki sur des thématiques aussi diverses que la théorie des ensembles, l’algèbre, la topologie, les espaces vectoriels topologiques, l’intégration ou encore les groupes et les algèbres de Lie. Les premiers fascicules des Éléments paraissent ponctuellement à la fin des années 1930 et durant la période de l’Occupation, avant de faire l’objet de publications régulières à partir de 1947. Dans le cadre de cet exposé, nous reviendrons tout d’abord sur les premières années d’existence du groupe afin de comprendre comment cette entreprise est née. Nous dresserons ensuite un état des lieux des archives disponibles permettant de documenter la genèse des Éléments de mathématique, ce qui nous conduira à mettre en exergue certaines pièces issues du fonds Jean Delsarte qui est conservé à la bibliothèque de l’Institut Élie Cartan. Les archives du groupe Bourbaki sont essentiellement composées de deux classes de documents : des Rédactions qui documentent les états intermédiaires dans la genèse d’un fascicule des Éléments de mathématique et les numéros du Journal de Bourbaki qui contribuent à comprendre comment ces Rédactions ont été discutées, critiquées et révisées. Nous reviendrons sur les précautions de méthode qui s’imposent pour étudier et relier ces deux grandes classes de documents. Enfin, nous présenterons succinctement l’état de nos recherches sur les premières rédactions Bourbaki dévolues aux groupes et aux algèbres de Lie.

La paramétrisation modulaire dans le cas des corps de fonctions est remarquablement différente du revêtement modulaire classique sur le corps des nombres complexes et fait appel à de nombreux outils théoriques. \
La situation est la suivante: soit $q$ une puissance d’un nombre premier, et soit ${\mathbb{F}}_q$ un corps à $q$ éléments. Soit $E$ une courbe elliptique non-isotriviale définie sur ${\mathbb{F}}_q(T)$ par une équation de Weierstrass de la forme
$$E:y^2+a_{1}xy+a_{3}y=x^3+a_2{x}^2+a_{4}x+a_6,a_i\in {\mathbb{F}}_q[T],$$
de mauvaise réduction multiplicative en la place $\mathrm{\infty }=1/T$.
Alors la paramétrisation modulaire est une application rationnelle $\varphi :{\bar{M}}_{\mathrm{\Gamma }}\to E$, où ${\bar{M}}_{\mathrm{\Gamma }}$ est la courbe modulaire de Drinfeld. Pour la construction de cette application nous avons besoin d’étudier les arbres de Bruhat-Tits et les fonctions thêta holomorphes.On s’intéressera plus particulièrement au calcul de l’image des pointes de ${\bar{M}}_{\mathrm{\Gamma }}$ par $\varphi$. Les résultats seront illustrés à travers quelques exemples.

On considère des intersections de formes diagonales à coefficients entiers de degrés distincts. Nous établissons une formule asymptotique pour le nombre N(X)  des points rationnels de hauteur au plus X sur ces variétés. La preuve utilise la méthode de Hardy-Littlewood (dite Méthode du Cercle) et des avancées récentes sur le système de Vinogradov. Nous établissons également un résultat plus fin pour un choix particulier de degrés, en utilisant une technique due à Wooley et une estimation de sommes d’exponentielles issue d’une approche récente de la méthode de van der Corput. Les résultats présentés ici font l’objet d’un travail en commun avec S. Boyer.

La suite d’Oldenburger-Kolakoski est l’unique suite infinie sur l’alphabet {1,2} qui commence par un 1 et est un point fixe de l’application de codage par plage. Dans cet exposé, nous prendrons un peu de recul par rapport à cette suite bien connue et très étudiée, en introduisant de l’aléa dans le choix des lettres écrites. Cela nous permettra de montrer des résultats portant sur la convergence de la densité de 1 dans les suites ainsi construites. Dans le cas où les lettres sont choisies selon une suite i.i.d. de variables aléatoires ou selon une chaîne de Markov, la densité moyenne de 1 converge. De plus, dans le cas i.i.d., nous arrivons même à démontrer que la densité converge presque sûrement. Il s’agit d’un travail réalisé conjointement par Chloé Boisson, Damien Jamet, et Irène Marcovici.

Manin et ses collaborateurs ont conjecturé des formules asymptotiques pour le nombres des points de hauteur anticanonique bornée sur les variétés de Fano. Nous démontrons cette conjecture pour la famille de variétés définies par l’équation $$L_1(x_1,x_2)y_1^2+L_2(x_1,x_2)y_2^2+L_3(x_1,x_2)y_3^2+L_4(x_1,x_2)y_4^2=0,$$ où $L_i$ sont des formes bilinéaires deux à deux non-proportionnelles. La constante arithmétique apparaissant dans le terme principal coïncide avec celle conjecturée par Peyre. La démonstration utilise divers outils de la théorie analytique des nombres. Il s’agit d’un travail en commun avec D. Bonolis et T. Browning.

We consider Kloosterman sums
$$K_p(n)=\sum _{x=1}^{p-1}\exp (2\pi i(nx+x^{-1})/p)$$
modulo a prime $p$ and define their sums
$$M_p(N)=\sum _{n\le N}\mu (n){\mathcal{K}}_p(n)\text{and}{T}_{\nu ,p}(N)=\sum _{n\le N}{\tau }_{\nu }(n){\mathcal{K}}_p(n)$$
twisted by the Möbius function $\mu (n)$ and by the $\nu$-fold divisor function ${\tau }_{\nu }(n)$. Fouvry, Kowalski & Michel (2014) and Kowalski, Michel & Sawin (2018) improved the trivial bounds
$$M_p(N)\ll N\text{and}{T}_{\nu ,p}(N)\ll N(\log N{)}^{\nu -1}.$$
for $N\ge p^{3/4+\epsilon }$ and $N\ge p^{2/3+\epsilon }$, respectively (for any fixed $\epsilon >0$). We will explain the ideas of the recent joint work with Maxim Korolev (2020) where both these thresholds are lowered down to $N\ge p^{1/2+\epsilon }$. We will also discuss some open questions.

Dans cet exposé, on considérera des familles finies de suites binaires (1 et -1) de même longueur finie n dont les coefficients de corrélation satisfont quelques conditions élémentaires. La question de l’existence de telles familles, et de leur construction, donne lieu à divers problèmes ouverts, avec des ramifications tant théoriques (combinatoire, algèbre, théorie des nombres, etc) qu’appliquées (codes correcteurs, spectrométrie, radars, etc). On se penchera plus spécifiquement sur trois ou quatre problèmes typiques dans ce cadre.

One version of the Ingham-Karamata theorem states that for each slowly oscillating function $\tau$ whose Laplace transform admits an analytic continuation beyond the line $\mathrm{\Re }ss=0$ must obey the asymptotic law $\tau (x)=o(1)$. This theorem is a cornerstone in Tauberian theory and has plenty of applications in number theory; one of the quickest proofs of the Prime Number Theorem passes through this theorem. 

We shall show that the decay rate $o(1)$ in the Ingham-Karamata theorem is optimal even if one assumes analytic continuation of the Laplace transform up to a larger halfplane. The attractive proof is based on the open mapping theorem.