Doctorants

Cet exposé discute de quelques résultats originaux qui ne sont généralement pas enseignés dans un cursus classique du Supérieur en Mathématiques. Il s’agit en effet du lemme de Wielandt (1949), du théorème de Kleinecke-Shirokov (1957-1956) et du théorème de Fulglede-Putnam-Rosenblum (1950-1951-1958). Provenant historiquement de la théorie des algèbres d’opérateurs, il est en fait naturel de les traduire dans le langage des algèbres de Banach dont leur père, le mathématicien soviétique I. M. Gelfand, a démontré entre 1939 et 1941 la complémentarité singulière qui s’exprime entre algèbre et analyse.

C’est cette complémentarité qui est réaffirmée ici. Ces résultats gravitent tous autour de la notion de (non)-commutativité qui est le cœur de la mécanique quantique et de la théorie des opérateurs. Plusieurs démonstrations du théorème de Wielandt sont proposées dont l’une avec l’aide du théorème de Kleinecke-Shirokov. Les résultats ci-dessus sont mis en lumière par quelques réflexions dans l’algèbre $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ des matrices carrées et par des questions personnelles sur les propriétés d’un couple $(a,b)$ d’éléments dans certaines $\mathbb{C}$-algèbres contraint à satisfaire une relation du type $[a,b]=\alpha a, ~ \alpha \in \mathbb{C}^*$. L’exposé est enrichi de remarques historiques et contextuelles sur la théorie des algèbres de Banach et des opérateurs.

Barycentres conditionnels de Wasserstein pour modéliser l’effet des conditions expérimentales sur la dégradation de batteries

Les performances des batteries électriques se dégradent au cours du temps. C’est le cas par exemple de la quantité d’énergie stockée qui diminue au cours du temps. Un enjeu important pour les constructeurs de batteries est de modéliser la dégradation caractéristique d’un nouveau modèle de batterie afin d’évaluer sa valeur.

Dans une présentation précédente, lors de la journée des doctorants, nous avions présenté des méthodes à base processus gaussiens pour modéliser la dégradation des batteries sous une condition de référence. Cela fournis un premier outil mais est souvent insuffisant en pratique. En effet, la dégradation des batteries dépend fortement de ses conditions d’utilisation, la température ambiante, le courant de charge ou de décharge… Nous avons donc besoin d’une méthode capable de prédire la dégradation en fonction des conditions expérimentales, et ce même pour des conditions jamais observées.

Face aux difficultés rencontrées à modéliser l’effet des conditions avec les méthodes utilisées précédemment, nous proposons une autre approche reposant sur la théorie du transport optimal. Dans cette présentation nous prendrons le temps d’introduire les éléments essentiels du transport optimal (problème de Monge, Kantorovitch …). Puis nous introduirons l’idée plus récente du barycentre conditionnel de Wassertein comme de méthode de régression lorsque les sorties sont des distributions de probabilités. La régression Fréchet, un type particulier de barycentre conditionnel, sera utilisée pour modéliser l’effet de la température sur le vieillissement des batteries.

Absorption d’un mouvement brownien réfléchi

Après avoir défini le mouvement brownien, j’essayerai de motiver l’étude d’une de ses très nombreuses généralisations : le mouvement brownien réfléchi (RBM) dans un cône. Nous verrons que ce processus est assez bien décrit par un petit jeu de paramètres. Nous discuterons en particulier de méthodes utiles au calcul de la probabilité qu’un RBM soit absorbé au sommet du cône. Cet exposé est issu d’un travail en collaboration avec Sandro Franceschi.

How cancer evolution can be modelled ? An example of a toy model giving insights on such evolutionary process.

Lors d’une palpitante partie de Qui-Est-Ce et des enjeux qu’une glorieuse victoire peut y représenter, il paraît fondamental d’y établir des stratégies solides : Quelles sont les questions qui optimisent nos chances de gagner ? Nous aborderons cette question sous le prisme de la théorie de l’information. Plus précisément, nous aborderons la notion d’entropie et en exhiberons quelques propriétés fondamentales pour mieux la cerner. Nous en profiterons pour introduire l’entropie relative, aussi appelée divergence de Kullback-Leibler, et présenter quelques résultats qui la font intervenir, notamment dans la théorie des grandes déviations avec le théorème de Sanov.

Journée conviviale et mathématique pour la rentrée des doctorants de l’IECL.

Programme : 

Matin :

• 9h : Accueil café
• 9h30 : Fatma Aouissaoui : Détection de ruptures faibles dans les modèles CHARN ;
• 10h10 : Hichem Zouari : Entiers friables sous contraintes digitales ;
• 10h50 : Pause ;
• 11h20 : Zeinab Mohamad Ali : Well-posedness and stabilization of coupled hyperbolic equations involving Timoshenko and Rao-Nakra systems by various types of controls ;
• 12h20 : Pause repas.

Après-midi :

• 14h : Yann Millot : De la ligne de fuite aux jeux de société ;
• 15h : Benjamin Florentin : Un analogue de l’hypothèse de Riemann en géométrie spectrale ;
• 15h40 : Pause ;
• 16h : Benjamin Larvaron :  Modélisation de la dégradation de batteries Lithium-ion avec incertitudes à l’aide de processus Gaussiens ;
• 16h40 : Serena Pedon : L’équation fonctionnelle de la fonction Zêta de Riemann ;
• 17h20 : Fin.

Comment stocker des données désordonnées ?

Imaginez être gérant.e d’un grand parking, réservé aux voitures abonnées. Une barrière y bloque l’entrée et ne s’ouvre que pour les voitures inscrites. Régulièrement des gens viennent vous voir pour y inscrire leur plaque d’immatriculation, que vous devez noter quelque part. Vous pourriez simplement les écrire les unes à la suite des autres sur une grande feuille, mais ce ne serait pas très malin pour les retrouver après. En effet quand une voiture s’approche de la barrière du parking, il faut vite savoir si sa plaque d’immatriculation est inscrite ou non.
On aimerait donc une manière intelligente de ranger ces numéros de plaques, de sorte à répondre efficacement à ces requêtes. Plus formellement, on cherche une structure informatique dans laquelle insérer des nouvelles données puis les retrouver se fait en temps raisonnable. Ces considérations mènent à la notion d’Arbre Binaire de Recherche (BST). Mon but dans cet exposé sera d’introduire cette structure et de présenter des résultats, classiques et nouveaux, concernant son efficacité.

Titre : Cartographie et Mathématiques : existe-t-il une carte parfaite ?

Abstract : Après une introduction historique de la modélisation de la Terre, nous allons nous intéresser à la possibilité de développer la sphère sur le plan. Formellement, est-il possible de trouver une application allant de la sphère dans le plan qui ait des bonnes propriétés ? Ensuite, nous étudierons les propriétés de conservation d’une carte qui serait isométrique, si une telle projection de la sphère existe. Enfin, nous aborderons la projection de Mercator, carte rendue célèbre pour son utilisation en navigation.

Pour clôturer l’année en beauté, journée de fin d’année des doctorants de l’IECL de Metz qui permettra de nous retrouver une dernière fois entre doctorants, nouveaux docteurs et amis !

Dans l’ordre alphabétique, les présentations seront de :

• Benjamin Alvarez (Centre de Physique Théorique, Université de Toulon) : << Une introduction à la théorie quantique des champs >> ;
• Nathan Couchet (Université Clermont Auvergne) : << Il était une fois le théorème de Rockland >>

Dans cet exposé nous allons présenter l’Histoire du théorème de Rockland datant de 1978.

Ce théorème fait un pont magistral entre la théorie des représentations de groupe et le caractère hypo-elliptique d’un opérateur différentiel homogène invariant à gauche par translation sur un groupe de Lie. Originalement démontré pour le groupe d’Heisenberg, Helffer et Nourrigat ont montré en 1979 que le théorème demeurait vrai pour les groupes de Lie gradués. En 2017, Dave et Haller ont énoncé la condition de Rockland filtrée, en lien étroit avec le calcul pseudodifférentiel groupoïdal de van Erp et Yuncken (2017).

Bien entendu, nous ferons les rappels nécessaires sur les algèbres de Lie graduées, la théorie des représentations de groupe et des opérateurs différentiels. Nous illustrerons la puissance de ce théorème au détour d’exemples historiques.

• Amine Hazzami (IECL-Probabilités) : << Et si un colonel ivre se mettait aux jeux stochastiques ? >> ;
• Ruben Louis (IECL-ATN) : << Structure de Poisson et résolution des équations de Hamilton par quadratures >>

Dans cet exposé je vais  présenter l’application principale des structures de Poisson « théorie
des systèmes hamiltoniens intégrables ». Les systèmes intégrables apparaissent en mécanique classique comme systèmes mécaniques avec un nombre suffisant de constantes de mou-
vement, souvent provenant d’une symétrie (invariance par rotation, par translation,…), impliquant qu’une intégration explicite des equations de mouvement soit possible. Les structures de Poisson jouent un rôle très dans l’étude des systèmes intégrables.

• Aurélie Paull (IECL-ATN) : << Le groupe de Heisenberg associé à un corps fini: un groupe un peu spécial… >> ;
• Nathan Toumi (IECL-ATN) : << Normes de Gowers pour une généralisation de la suite de Thue-Morse >> ;
• Maxime Wagner (IECL-ATN) : << Tout ce que vous ne saviez pas sur le donut, à tore ou à raison >>.