Doctorants

Suivant les idées d’Arnol’d, Brenier a proposé en 1989 un modèle
variationnel en lien avec le transport optimal pour décrire l’évolution
d’un fluide incompressible et non-visqueux. L’équation d’Euler-Lagrange de
ce problème de minimisation peut-être interprété comme un système
d’équations aux dérivées partielles de type Vlasov, d’ores et déjà étudié
dans le cadre de la physique des plasmas (parfois sous le nom d’équation
d’Euler cinétique). Après avoir défini le modèle de Brenier et donné
certaines propriétés de ses solutions, nous verrons le type d’information
que l’on peut tirer de l’étude de l’équation d’Euler cinétique.

La théorie des algèbres d’opérateurs fut fondée en 1930 par John von
Neumann qui cherchait à formaliser mathématiquement la toute jeune
théorie de la mécanique quantique. L’idée est de remplacer l’algèbre
commutative des observables décrivant un système classique, par une
algèbre d’opérateurs sur un espace de Hilbert qui n’est plus
nécessairement commutative. Pour le physicien, la non-commutativité
encode alors les propriétés quantiques du système ainsi que sa
dynamique. Pour le mathématicien, elle est aussi la source de quantité
de phénomènes surprenants et de liens forts et féconds avec la théorie
ergodique, la théorie des groupes et de leurs représentations, la
topologie en basse dimension etc… Au cours de cet exposé, je donnerai
un petit aperçu de la théorie des algèbres de von Neumann et je
présenterai quelques résultats de recherche récents.

The objective of this work is the mathematical study for a Bresse system, consisting of coupled three wave equations in one dimensional open bounded domain. This system has its origin in the mechanics of structures and especially in the balance of elastic bars. We are interested in Bresse systems with three memories and three delays. The aim is the proof of the well-posedness and exponential stability of this system under some hypotheses.

L’exposé commencera par un bref rappel du formalisme de la mécanique quantique. Il traitera ensuite de la justification de la théorie de Gross-Pitaevskii à partir du problème à N corps. C’est une théorie effective qui est censée prévoir l’énergie fondamentale d’un gaz de bosons (dans un certain régime), son état fondamental et l’évolution de ce dernier au cours du temps. En particulier pour la dérivation de l’énergie, j’exposerai une méthode basée sur l’utilisation d’une version quantique du théorème de de Finetti.

Une carte est une structure combinatoire qui décrit le plongement d’un graphe sur une surface. Les cartes sont, de par leur structure très riche, des objets très importants en combinatoire énumérative. Elles sont également au croisement de plusieurs domaines des mathématiques (informatique graphique, physique théorique, géométrie algébrique), ce qui fait qu’elle ont été très étudiées dans les cinquante dernières années.
Après quelques principes de base de combinatoire énumérative, je présenterai quelques résultats standards de combinatoire des cartes. Je présenterai ensuite les liens entre les cartes et d’autres domaines des mathématiques, en me concentrant sur un exemple particulier : celui des limites de cartes aléatoires et leur lien avec la « gravité quantique 2D ». Si le temps le permet, j’expliquerai brièvement ce sur quoi je travaille, à savoir les liens entre les cartes et la hiérarchie KP.

Je parlerai des modèles espace-état où les observation sont multi-catégoricalles et longitudinales, et l’état est décrit par des modèles du type CHARN. Nous estimons l’état au moyen des récursivités de Kalman généralisées. Celles-ci reposent sur l’application d’une variété de filtres particulaires et de l’algorithme EM. Nos résultats sont appliqués à l’estimation du trait latent en qualité de vie. Ce qui fournit une alternative et une généralisation des méthodes existantes dans la littérature. Ces résultats sont illustrés par des simulations numériques et une application aux données réelles sur la qualité de vie des femmes ayant subi une opération pour cause de cancer du sein.

Travail réalisé conjointement avec Fabian Portmann et Jan Philip Solovej.

Le théorème de Jorgensen affirme que l’ensemble des volumes des variétés hyperboliques (complètes) de dimension 3 est une partie de R bien ordonnée. Le but de cet exposé est de comprendre les termes de cet énoncé et de se donner des éléments de preuve de ce résultat surprenant. On introduira les espaces hyperboliques de dimension 2 et 3, pour ensuite rentrer dans le monde des variétés hyperboliques de dimension 3 afin d’établir le lien entre leur topologie et ce mystérieux ensemble de volumes.

Le déplacement de micro-organismes dans des fluides biologiques est un problème d’interaction fluide-structure, qui peut se modéliser mathématiquement par un système d’équations aux dérivées partielles. La spécificité de ces structures biologiques est d’être capables de se déformer d’elles-mêmes, grâce à des moteurs internes. Néanmoins, nous verrons que toutes les déformations ne sont pas efficaces, notamment à cause du caractère visqueux des fluides biologiques. L’exposé fera un tour d’horizon de l’interaction fluide-structure à bas nombre de Reynolds, de la modélisation des structures actives, ainsi que de la résolution numérique du problème.

L’étude de l’évitabilité de certains schémas en combinatoire des mots est un champ de recherche qui remonte au début du siècle dernier avec les travaux d’Axel Thue. En 2011, un article de J. Cassaigne, J. D. Currie, L. Schaeffer et J. Shallit montrait qu’il était possible, en utilisant un alphabet de 4 chiffres, de construire un mot infini qui évite les cubes additifs. Autrement dit on ne peut pas trouver dans ce mot trois blocs consécutifs de mêmes tailles et de mêmes sommes de chiffres. Au delà de ce résultat, l’étude de la structure de cette preuve permet d’étendre le travail effectué par Cassaigne et al. et d’émettre plusieurs conjectures sur les mots évitant les cubes additifs. Le cas resté non-résolu à l’heure actuelle est celui des carrés additifs pour lequel certaines pistes peuvent être explorées.