Cet exposé discute de quelques résultats originaux qui ne sont généralement pas enseignés dans un cursus classique du Supérieur en Mathématiques. Il s’agit en effet du lemme de Wielandt (1949), du théorème de Kleinecke-Shirokov (1957-1956) et du théorème de Fulglede-Putnam-Rosenblum (1950-1951-1958). Provenant historiquement de la théorie des algèbres d’opérateurs, il est en fait naturel de les traduire dans le langage des algèbres de Banach dont leur père, le mathématicien soviétique I. M. Gelfand, a démontré entre 1939 et 1941 la complémentarité singulière qui s’exprime entre algèbre et analyse.

C’est cette complémentarité qui est réaffirmée ici. Ces résultats gravitent tous autour de la notion de (non)-commutativité qui est le cœur de la mécanique quantique et de la théorie des opérateurs. Plusieurs démonstrations du théorème de Wielandt sont proposées dont l’une avec l’aide du théorème de Kleinecke-Shirokov. Les résultats ci-dessus sont mis en lumière par quelques réflexions dans l’algèbre $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ des matrices carrées et par des questions personnelles sur les propriétés d’un couple $(a,b)$ d’éléments dans certaines $\mathbb{C}$-algèbres contraint à satisfaire une relation du type $[a,b]=\alpha a, ~ \alpha \in \mathbb{C}^*$. L’exposé est enrichi de remarques historiques et contextuelles sur la théorie des algèbres de Banach et des opérateurs.

Barycentres conditionnels de Wasserstein pour modéliser l’effet des conditions expérimentales sur la dégradation de batteries

Les performances des batteries électriques se dégradent au cours du temps. C’est le cas par exemple de la quantité d’énergie stockée qui diminue au cours du temps. Un enjeu important pour les constructeurs de batteries est de modéliser la dégradation caractéristique d’un nouveau modèle de batterie afin d’évaluer sa valeur.

Dans une présentation précédente, lors de la journée des doctorants, nous avions présenté des méthodes à base processus gaussiens pour modéliser la dégradation des batteries sous une condition de référence. Cela fournis un premier outil mais est souvent insuffisant en pratique. En effet, la dégradation des batteries dépend fortement de ses conditions d’utilisation, la température ambiante, le courant de charge ou de décharge… Nous avons donc besoin d’une méthode capable de prédire la dégradation en fonction des conditions expérimentales, et ce même pour des conditions jamais observées.

Face aux difficultés rencontrées à modéliser l’effet des conditions avec les méthodes utilisées précédemment, nous proposons une autre approche reposant sur la théorie du transport optimal. Dans cette présentation nous prendrons le temps d’introduire les éléments essentiels du transport optimal (problème de Monge, Kantorovitch …). Puis nous introduirons l’idée plus récente du barycentre conditionnel de Wassertein comme de méthode de régression lorsque les sorties sont des distributions de probabilités. La régression Fréchet, un type particulier de barycentre conditionnel, sera utilisée pour modéliser l’effet de la température sur le vieillissement des batteries.

Absorption d’un mouvement brownien réfléchi

Après avoir défini le mouvement brownien, j’essayerai de motiver l’étude d’une de ses très nombreuses généralisations : le mouvement brownien réfléchi (RBM) dans un cône. Nous verrons que ce processus est assez bien décrit par un petit jeu de paramètres. Nous discuterons en particulier de méthodes utiles au calcul de la probabilité qu’un RBM soit absorbé au sommet du cône. Cet exposé est issu d’un travail en collaboration avec Sandro Franceschi.

How cancer evolution can be modelled ? An example of a toy model giving insights on such evolutionary process.

Lors d’une palpitante partie de Qui-Est-Ce et des enjeux qu’une glorieuse victoire peut y représenter, il paraît fondamental d’y établir des stratégies solides : Quelles sont les questions qui optimisent nos chances de gagner ? Nous aborderons cette question sous le prisme de la théorie de l’information. Plus précisément, nous aborderons la notion d’entropie et en exhiberons quelques propriétés fondamentales pour mieux la cerner. Nous en profiterons pour introduire l’entropie relative, aussi appelée divergence de Kullback-Leibler, et présenter quelques résultats qui la font intervenir, notamment dans la théorie des grandes déviations avec le théorème de Sanov.

Journée conviviale et mathématique pour la rentrée des doctorants de l’IECL.

Programme : 

Matin :

• 9h : Accueil café
• 9h30 : Fatma Aouissaoui : Détection de ruptures faibles dans les modèles CHARN ;
• 10h10 : Hichem Zouari : Entiers friables sous contraintes digitales ;
• 10h50 : Pause ;
• 11h20 : Zeinab Mohamad Ali : Well-posedness and stabilization of coupled hyperbolic equations involving Timoshenko and Rao-Nakra systems by various types of controls ;
• 12h20 : Pause repas.

Après-midi :

• 14h : Yann Millot : De la ligne de fuite aux jeux de société ;
• 15h : Benjamin Florentin : Un analogue de l’hypothèse de Riemann en géométrie spectrale ;
• 15h40 : Pause ;
• 16h : Benjamin Larvaron :  Modélisation de la dégradation de batteries Lithium-ion avec incertitudes à l’aide de processus Gaussiens ;
• 16h40 : Serena Pedon : L’équation fonctionnelle de la fonction Zêta de Riemann ;
• 17h20 : Fin.

Comment stocker des données désordonnées ?

Imaginez être gérant.e d’un grand parking, réservé aux voitures abonnées. Une barrière y bloque l’entrée et ne s’ouvre que pour les voitures inscrites. Régulièrement des gens viennent vous voir pour y inscrire leur plaque d’immatriculation, que vous devez noter quelque part. Vous pourriez simplement les écrire les unes à la suite des autres sur une grande feuille, mais ce ne serait pas très malin pour les retrouver après. En effet quand une voiture s’approche de la barrière du parking, il faut vite savoir si sa plaque d’immatriculation est inscrite ou non.
On aimerait donc une manière intelligente de ranger ces numéros de plaques, de sorte à répondre efficacement à ces requêtes. Plus formellement, on cherche une structure informatique dans laquelle insérer des nouvelles données puis les retrouver se fait en temps raisonnable. Ces considérations mènent à la notion d’Arbre Binaire de Recherche (BST). Mon but dans cet exposé sera d’introduire cette structure et de présenter des résultats, classiques et nouveaux, concernant son efficacité.

Titre : Cartographie et Mathématiques : existe-t-il une carte parfaite ?

Abstract : Après une introduction historique de la modélisation de la Terre, nous allons nous intéresser à la possibilité de développer la sphère sur le plan. Formellement, est-il possible de trouver une application allant de la sphère dans le plan qui ait des bonnes propriétés ? Ensuite, nous étudierons les propriétés de conservation d’une carte qui serait isométrique, si une telle projection de la sphère existe. Enfin, nous aborderons la projection de Mercator, carte rendue célèbre pour son utilisation en navigation.

En mathématiques comme en biologie, les interactions entre les gènes sont généralement représentées sous la forme d’un graphe orienté où les nœuds représentent les différents gènes et les arêtes une relation de dépendance entre deux gènes. Afin d’inférer ce réseau à partir de données dynamiques d’expression de gènes, de nombreuses techniques ont été développées ces dernières années.  On peut citer par exemple l’utilisation de modèles graphiques gaussiens, de modèles linéaires avec inférence pénalisée ou encore des forêts aléatoires. À partir d’un graphe inféré grâce à un modèle et des données temporelles d’expression de gènes, nous nous intéressons à la modélisation d’une expérience biologique dite de silencing, consistant à réduire fortement l’expression de certains gènes dans la cellule, et à mesurer l’impact de ce silencing sur un ensemble de gènes appelés « cibles ».  Ces expériences sont un espoir pour réduire la prolifération cellulaire incontrôlée qui survient dans les cellules leucémiques. En prenant en compte les spécificités de notre problème, notamment le faible nombre de données médicales et la structure du graphe inféré, nous proposons de développer et comparer deux méthodes différentes pour simuler mathématiquement ce silencing. Celles-ci seront testées numériquement sur des données temporelles simulées dans le cas d’un modèle linéaire standard.

Le mélange « à l’américaine » d’un jeu de cartes possède des propriétés mathématiques fortes qui peuvent être utilisées pour des tours de magie. De manière surprenante, les permutations de cartes obtenues à l’aide d’un tel mélange sont étroitement liées à un objet central en dynamique holomorphe : l’ensemble de Mandelbrot.

Une équation aux dérivées partielles est la donnée d’un opérateur, d’un second membre et d’un ouvert de l’espace. Comment se comportent les solutions de cette équation lorsque l’ouvert est légèrement perturbé ? À travers différentes illustrations, nous étudierons les différentes topologies possibles sur les domaines : convergence au sens de Hausdorff, des compacts, etc. Avant cela, nous rappellerons les différentes notions utilisées pour étudier les EDP variationnelles. Ensuite, nous chercherons les bonnes conditions sur les ouverts pour assurer la convergence des solutions ; lorsque l’opérateur est le Laplacien, on parle de $\gamma$-convergence. Ces résultats permettent notamment de prouver l’existence de formes minimales pour des problèmes d’optimisation de forme.

La dynamique hamiltonienne en géométrie de Poisson permet, via la géométrie différentielle, une description efficace et puissante des symétries de nombreuses équations de la mécanique conservative. J’expliquerai les grandes lignes de la théorie et l’illustrerai par des exemples. Enfin, je raconterai comment elle est mise à profit dans la conception de méthodes numériques résolvant lesdites équations en possédant des propriétés qualitatives remarquables, comme la préservation de symétries ou la stabilité au voisinage d’une singularité. J’illustrerai ces méthodes par des simulations numériques.

L’exposé repose en partie sur le preprint « Symplectic groupoids for Poisson integrators », 0.C., 2022 (arXiv : 2205.04838).

La méthode usuelle que nous utilisons pour écrire les nombres réels est le développement en base entière, qui consiste à exprimer un nombre réel $x$ selon les puissances négatives d’un entier $b>1$. Une question naturelle pour étendre ce procédé est la suivante : Que se passe-t-il si dans ce procédé on remplace l’entier $b$ par un réel $\beta>1$ ?

Nous verrons dans cet exposé les différences de fonctionnement des bases $\beta$ par rapport aux bases entières et parlerons de l’intérêt de considérer certaines classes de nombres comme les nombres de Pisot en tant que bases.

Dans cet exposé, nous discuterons autour de l’équation du plus bas niveau de Landau, qui apparaît dans de nombreuses situations de la mécanique quantique, telles que la supraconductivité ou les condensats de Bose-Einstein. Nous commencerons par l’étude des propriétés basiques de l’équation : symétries, quantités conservées, existence et unicité d’une solution. Dans le but de mieux comprendre cette équation, nous regarderons de plus près une classe de solutions particulières appelées ‘ondes stationnaires’. Si le temps nous le permet, nous étudierons une conjecture concernant le réseau d’Abrikosov.

Au travers de deux grands problèmes de la Physique et plus généralement de l’Histoire des mathématiques, cet exposé vise à motiver l’étude des opérateurs différentiels. Nous discuterons dans un premier temps de géométrie spectrale en dimension 1 et 2. Il existe en effet un lien entre le nombre de valeurs propres du laplacien et la géométrie du domaine associée à l’équation acoustique d’Helmholtz.

Dans un second temps, nous explorerons la naissance du concept de solution fondamentale d’un opérateur différentiel. Celui-ci suggère deux notions aujourd’hui fondamentales : l’ellipticité et l’hypo-ellipticité.

Enfin, si le temps nous est favorable, nous parlerons du théorème original de Rockland de 1978, lequel dresse un parallèle entre hypo-ellipticité et théories des représentations du groupe d’Heisenberg.

Dans cet exposé je parlerai de percolation, qui est un domaine relativement récent des probabilités discrètes (1957). Étant donné un graphe $G=(V,E)$, une configuration de percolation $\omega$ sur $G$ est un élément de $\{0,1\}^E$, où la valeur $1$ pour une arête $e\in E$ code le fait qu’on considère que cette arête est « ouverte », et la valeur $0$ qu’elle est « fermée ». On peut voir cette configuration comme un sous-graphe de $G$, en conservant les sommets de $G$ et où l’ensemble des arêtes est $\{e\in E~:~ \omega(e)=1\}$. Le choix d’une mesure de probabilité sur l’ensemble des configurations de percolation de $G$ définit un modèle de percolation sur $G$.

La percolation de Bernoulli, modèle qu’on appellera « sans contraintes », sera le premier modèle étudié. Je parlerai de grands résultats qui ont été obtenus, mais également de certaines conjectures qui demeurent sur des graphes relativement simples.

Enfin j’aborderai le cas des modèles dits « avec contraintes », qui constituent le sujet de ma thèse. Mon but sera de faire ressortir les difficultés que peuvent apporter ces contraintes, et de montrer des exemples de façons de les contourner.