Le théorème de Jorgensen affirme que l’ensemble des volumes des variétés hyperboliques (complètes) de dimension 3 est une partie de R bien ordonnée. Le but de cet exposé est de comprendre les termes de cet énoncé et de se donner des éléments de preuve de ce résultat surprenant. On introduira les espaces hyperboliques de dimension 2 et 3, pour ensuite rentrer dans le monde des variétés hyperboliques de dimension 3 afin d’établir le lien entre leur topologie et ce mystérieux ensemble de volumes.

Le déplacement de micro-organismes dans des fluides biologiques est un problème d’interaction fluide-structure, qui peut se modéliser mathématiquement par un système d’équations aux dérivées partielles. La spécificité de ces structures biologiques est d’être capables de se déformer d’elles-mêmes, grâce à des moteurs internes. Néanmoins, nous verrons que toutes les déformations ne sont pas efficaces, notamment à cause du caractère visqueux des fluides biologiques. L’exposé fera un tour d’horizon de l’interaction fluide-structure à bas nombre de Reynolds, de la modélisation des structures actives, ainsi que de la résolution numérique du problème.

L’étude de l’évitabilité de certains schémas en combinatoire des mots est un champ de recherche qui remonte au début du siècle dernier avec les travaux d’Axel Thue. En 2011, un article de J. Cassaigne, J. D. Currie, L. Schaeffer et J. Shallit montrait qu’il était possible, en utilisant un alphabet de 4 chiffres, de construire un mot infini qui évite les cubes additifs. Autrement dit on ne peut pas trouver dans ce mot trois blocs consécutifs de mêmes tailles et de mêmes sommes de chiffres. Au delà de ce résultat, l’étude de la structure de cette preuve permet d’étendre le travail effectué par Cassaigne et al. et d’émettre plusieurs conjectures sur les mots évitant les cubes additifs. Le cas resté non-résolu à l’heure actuelle est celui des carrés additifs pour lequel certaines pistes peuvent être explorées.

Cet exposé sera un nano-cours sur les groupes de Coxeter. Je commencerai par définir ces genres de groupes.
Ensuite, j’énoncerai les premières propriétés des groupes de Coxeter et leur théorème de caractérisation.
Je terminerai par la définition d’une matrice et d’un graphe de Coxeter et si je temps le permet, j’énoncerais un théorème de classification.

Le retournement de sous-mot est une méthode combinatoire, introduite par Patrick Dehornoy en 1992, pour étudier des monoïdes définis par une présentation, un exemple bien connu de tels monoïdes est le monoïde de tresses. Dans une première partie, je définirai des notions naturelles de divisibilité sur les monoïdes. Ensuite, dans une deuxième, je présenterai la méthode de retournement de sous-mot, en particulier, son utilité pour calculer des ppcm, des pgcd, résoudre le problème de mot… Pour finir, dans une troisième partie, j’appliquerai cette méthode sur des exemples de monoïdes définis par une présentation.

Dans une première partie, je vous présenterai le modèle HMF Poisson
(Hamiltonian mean field model) et expliquerai dans quel contexte il
apparaît. Je définirai ensuite la notion de stabilité orbitale. Puis dans
un second temps, je démontrerai la stabilité orbitale des états
stationnaires qui sont solutions d’un problème de minimisation à une
contrainte. Pour finir, j’expliquerai comment il est possible de démontrer
la stabilité orbitale d’une classe plus grande d’états stationnaires.

A tout groupe de type fini, on peut associer un graphe, appelé graphe de Cayley. De cette façon, le groupe devient un espace métrique sur lequel il est possible de se promener. Dans cet exposé, on va s’intéresser aux liens entre marche
aléatoire sur ce graphe et propriétés (géo)métriques et algébriques du
groupe en question. On parlera d’un théorème de Polya, de géométrie à grande échelle et du paradoxe de Banach-Tarski, avec plein d’exemples : des groupes libres aux groupes abéliens en passant par les groupes d’allumeurs de réverbères.

Ces travaux, à la fois théoriques et numériques, portent sur la mise au point d’une méthode de calcul
rapide des effets des explosions aériennes en géométrie complexe. On se base pour cela sur des modèles
hyperboliques simplifiés de propagation d’ondes de choc du type Geometrical Shock Dynamics (GSD) et
Cinématique, où seul le front incident est modélisé (passage du 3D/5 équations pour les équations d’Euler au
2D/2 équations). L’analyse du problème de Riemann fait apparaitre une absence de solution pour le problème
de la diffraction d’un choc faible sur un coin convexe. Nous levons cette limitation au travers d’une extension
ad-hoc du modèle. L’effet de souffle consécutif à une explosion ponctuelle est ensuite introduit à partir d’une
loi pression/distance basée sur les résultats de simulations des équations d’Euler avec détonique. Un
algorithme lagrangien conservatif de suivi de front est développé en 2D. Des tests numériques montrent que
ce nouveau modèle se compare très favorablement à l’expérience, avec une réduction importante du temps
de calcul.

Le but de l’exposé est d’expliquer ce qu’est un groupe algébrique. L’exposé se veut accessible aux non-algébristes. Je commencerai par définir la topologie de Zariski sur un espace vectoriel, les variétés affines et les groupes algébriques. Je donnerai ensuite quelques exemples de ces objets et quelques propriétés. Si le temps le permet, je donnerai quelques exemples de variétés projectives qui interviennent dans le contexte des groupes algébriques réductifs (notamment les variétés de Schubert).

Le préconditionnement est couramment utilisé pour réduire l’effet des erreur numériques pour la résolution de systèmes linéaires.
Dans cet exposé nous proposons de l’utiliser pour stabiliser des schémas de résolution d’EDP paraboliques à l’aide de schémas type RSS.
Des applications de ce schémas sont données pour la résolution d’équations issues de la mécaniques des fluides (Équation de Navier-Stokes) mais aussi des équations utilisées en traitement des images (équations d’Allen-Cahn et Cahn-Hilliard).

Dans cet exposé, nous nous intéressons à la représentation et à la prise en compte des incertitudes dans les systèmes de prévision hydrologique probabilistes à moyen-terme. Ces incertitudes proviennent principalement de deux sources : (1) de l’imperfection des prévisions météorologiques (utilisées en intrant de ces systèmes) et (2) de l’imperfection de la représentation du processus hydrologique par le simulateur pluie-débit (SPQ) (au cœur de ces systèmes).

La performance d’un système de prévision probabiliste s’évalue par la précision de ses prévisions conditionnellement à sa fiabilité. L’approche statistique que nous suivons procure une garantie de fiabilité à condition que les hypothèses qu’elle implique soient réalistes. Nous cherchons de plus à gagner en précision en incorporant des informations auxiliaires.

Nous proposons, pour chacune des sources d’incertitudes, une méthode permettant cette incorporation : (1) un post-traitement des prévisions météorologiques s’appuyant sur la propriété statistique d’échangeabilité et permettant la prise en compte de plusieurs sources de prévisions, ensemblistes ou déterministes ; (2) un post-traitement hydrologique utilisant les variables d’état des SPQ par le biais d’un modèle Probit arbitrant entre deux régimes hydrologiques interprétables et permettant ainsi de représenter une incertitude à variance hétérogène.
Ces deux méthodes montrent de bonnes capacités d’adaptation aux cas d’application variés fournis par EDF et Hydro-Québec, partenaires et financeurs du projet. Elles présentent de plus un gain en simplicité et en formalisme par rapport aux méthodes opérationnelles tout en montrant des performances similaires.

Après avoir énoncé le formalisme des C*-algèbres commutatives en m’appuyant sur le cas simple de C_0(X) où X est un espace localement compact,
je donnerai un exemple de problème à N-corps quantique qui permet de construire une C*-algèbre dont nous déterminerons le spectre.
Il existe une action naturelle de R^n sur cette C*-algèbre. Si le temps me le permet, je donnerai des détails sur le spectre du produit
croisé de cette C^*algèbre par R^n.

La variété des caractères d’un groupe de type fini vers un groupe algébrique complexe est (à peu de choses près) l’ensemble des classes de conjugaisons de représentations de ce groupe de type fini vers le groupe algébrique complexe.
Cette variété peut avoir des singularités algébriques. Nous allons nous intéresser au cas où le groupe de type fini est un groupe libre ou un groupe de surface et le groupe algébrique complexe est PSL(p,C) avec p premier.
En particulier, nous montrerons que la classe de conjugaison d’une représentation irréductible dont le centralisateur est non-trivial est une singularité algébrique de la variété des caractères. Si le temps le permet, nous verrons des contre-exemples à cette propriété si l’on change le groupe de type fini.

Dans cet exposé, nous étudierons la notion de relation de dispersion, d’un point de vue physique, et mathématiques. Nous nous intéresserons plus particulièrement au cas des plasmas froids magnétisés à travers l’exemple des ceintures de Van Allen. Le but sera alors d’exposer la situation physique étudiée et les différents résultats obtenus jusqu’à maintenant sur le sujet.

Dans les années 1930, suite aux travaux de Elie Cartan et Hermann Weyl, il a été observé que des liens fondamentaux existaient entre la théorie des fonctions spéciales (introduites en analyse au 19e siècle (ce sont des fonctions analytiques non élémentaires qui sont apparues comme des solutions d’équations de la physique mathématiques, comme les fonctions de Bessel ou les fonctions hypergéométriques) et la théorie des représentations des groupes de Lie linéaires. En particulier, les fonctions sphériques jouent un rôle important dans l’étude des représentations de dimensions infinies de ces groupes.
Dans les années 1950, Gelfand introduit formellement le concept qui porte aujourd’hui son nom, en considérant un groupe G, un sous-groupe compact K et en étudiant les fonctions sur G étant K-bi-invariantes.
Ce sera le point de départ de cet exposé. Je commencerai par introduire la notion de paires de Gelfand en donnant quelques propriétés de ces dernières. Le but sera ensuite de donner quelques résultats concernant les fonctions et mesures sphériques et d’appliquer cela dans un cadre bien précis: les paires de Gelfand nilpotentes. Pour cela, on utilisera un exemple fondamental dans ce cadre, celui où K = U(n, C) et G défini comme le produit semi-direct de K avec le groupe de Heisenberg Hn (suivant les travaux de Benson – Jenkins – Ratcliff)

Tout d’abord, étant donné un nombre $qinmathbb{C}^*$ (tel que $q^2neq -1$) on donnera la définition classique de $SL_q(2)$ en tant qu’algèbre de Hopf.

Le but de cet exposé est de donner une motivation de cette définition à partir de la théorie des noeuds. Pour cela, on commencera par rappeler quelques notions élémentaires de la théorie des noeuds en donnant une version simple et adaptée du polynôme de Jones. Ensuite, on décrira de façon succincte une méthode de manipulation des noeuds en associant des matrices à chaque « minimum » , « maximum » ou croisement du noeud (emph{méthode qui s’inspire de la théorie quantique des champs}). Ainsi, la version adaptée du polynôme de Jones que l’on a construit au début pourra être modélisée en termes de matrices, ce qui nous permettra de conclure la construction du groupe quantique $SL_q(2)$.

Cet exposé tout public sera l’occasion d’introduire la notion probabiliste de couplage, et de la mettre en place pour étudier le KDEM (kinetic dietary exposure model) introduit par Bertail, Clémençon et Tressou en 2008. Nous verrons comment ce modèle de pharmacocinétique, ou contamination alimentaire, se modélise par un processus de Markov déterministe par morceaux, et comment on peut obtenir des estimés sur sa vitesse de convergence vers une mesure stationnaire.

Qui des deux jumeaux, de celui qui reste sur terre ou de celui qui voyage à grande vitesse, vieillit le plus vite? Le chat de Schröndiger est-il mort ou en vie? Les objets quantiques sont-ils des ondes ou des particules? Pourquoi ne peut-on pas connaître à la fois la vitesse et la position d’un objet quantique? L’intuition et le langage naturels semblent impuissants face à ces questions et l’utilisation des mathématiques semblent incontournables. Je vous propose donc de découvrir, ou de redécouvrir, la théorie de la relativité restreinte et la mécanique quantique dont le mariage a donné naissance à la théorie des champs quantiques, le cadre formel du célèbre modèle standard de la physique des particules.

Je voudrais vous présenter dans cet exposé une notion très utilisée en géométrie asymptotique (Coarse Geometry) : les expanseurs.
Je partirai d’un problème concret de théorie des réseaux pour arriver à la notion d’expanseur. Nous exposerons ensuite quelques propriétés métriques remarquables de ces objets, notamment le fait qu’ils n’admettent pas de plongement uniforme dans l’espace de Hilbert, et les conséquences que cela a pour mon travail de thèse.