Titre : Cartographie et Mathématiques : existe-t-il une carte parfaite ?

Abstract : Après une introduction historique de la modélisation de la Terre, nous allons nous intéresser à la possibilité de développer la sphère sur le plan. Formellement, est-il possible de trouver une application allant de la sphère dans le plan qui ait des bonnes propriétés ? Ensuite, nous étudierons les propriétés de conservation d’une carte qui serait isométrique, si une telle projection de la sphère existe. Enfin, nous aborderons la projection de Mercator, carte rendue célèbre pour son utilisation en navigation.

En mathématiques comme en biologie, les interactions entre les gènes sont généralement représentées sous la forme d’un graphe orienté où les nœuds représentent les différents gènes et les arêtes une relation de dépendance entre deux gènes. Afin d’inférer ce réseau à partir de données dynamiques d’expression de gènes, de nombreuses techniques ont été développées ces dernières années.  On peut citer par exemple l’utilisation de modèles graphiques gaussiens, de modèles linéaires avec inférence pénalisée ou encore des forêts aléatoires. À partir d’un graphe inféré grâce à un modèle et des données temporelles d’expression de gènes, nous nous intéressons à la modélisation d’une expérience biologique dite de silencing, consistant à réduire fortement l’expression de certains gènes dans la cellule, et à mesurer l’impact de ce silencing sur un ensemble de gènes appelés « cibles ».  Ces expériences sont un espoir pour réduire la prolifération cellulaire incontrôlée qui survient dans les cellules leucémiques. En prenant en compte les spécificités de notre problème, notamment le faible nombre de données médicales et la structure du graphe inféré, nous proposons de développer et comparer deux méthodes différentes pour simuler mathématiquement ce silencing. Celles-ci seront testées numériquement sur des données temporelles simulées dans le cas d’un modèle linéaire standard.

Le mélange « à l’américaine » d’un jeu de cartes possède des propriétés mathématiques fortes qui peuvent être utilisées pour des tours de magie. De manière surprenante, les permutations de cartes obtenues à l’aide d’un tel mélange sont étroitement liées à un objet central en dynamique holomorphe : l’ensemble de Mandelbrot.

Une équation aux dérivées partielles est la donnée d’un opérateur, d’un second membre et d’un ouvert de l’espace. Comment se comportent les solutions de cette équation lorsque l’ouvert est légèrement perturbé ? À travers différentes illustrations, nous étudierons les différentes topologies possibles sur les domaines : convergence au sens de Hausdorff, des compacts, etc. Avant cela, nous rappellerons les différentes notions utilisées pour étudier les EDP variationnelles. Ensuite, nous chercherons les bonnes conditions sur les ouverts pour assurer la convergence des solutions ; lorsque l’opérateur est le Laplacien, on parle de $\gamma$-convergence. Ces résultats permettent notamment de prouver l’existence de formes minimales pour des problèmes d’optimisation de forme.

La dynamique hamiltonienne en géométrie de Poisson permet, via la géométrie différentielle, une description efficace et puissante des symétries de nombreuses équations de la mécanique conservative. J’expliquerai les grandes lignes de la théorie et l’illustrerai par des exemples. Enfin, je raconterai comment elle est mise à profit dans la conception de méthodes numériques résolvant lesdites équations en possédant des propriétés qualitatives remarquables, comme la préservation de symétries ou la stabilité au voisinage d’une singularité. J’illustrerai ces méthodes par des simulations numériques.

L’exposé repose en partie sur le preprint « Symplectic groupoids for Poisson integrators », 0.C., 2022 (arXiv : 2205.04838).

La méthode usuelle que nous utilisons pour écrire les nombres réels est le développement en base entière, qui consiste à exprimer un nombre réel $x$ selon les puissances négatives d’un entier $b>1$. Une question naturelle pour étendre ce procédé est la suivante : Que se passe-t-il si dans ce procédé on remplace l’entier $b$ par un réel $\beta >1$ ?

Nous verrons dans cet exposé les différences de fonctionnement des bases $\beta$ par rapport aux bases entières et parlerons de l’intérêt de considérer certaines classes de nombres comme les nombres de Pisot en tant que bases.

Dans cet exposé, nous discuterons autour de l’équation du plus bas niveau de Landau, qui apparaît dans de nombreuses situations de la mécanique quantique, telles que la supraconductivité ou les condensats de Bose-Einstein. Nous commencerons par l’étude des propriétés basiques de l’équation : symétries, quantités conservées, existence et unicité d’une solution. Dans le but de mieux comprendre cette équation, nous regarderons de plus près une classe de solutions particulières appelées ‘ondes stationnaires’. Si le temps nous le permet, nous étudierons une conjecture concernant le réseau d’Abrikosov.

Au travers de deux grands problèmes de la Physique et plus généralement de l’Histoire des mathématiques, cet exposé vise à motiver l’étude des opérateurs différentiels. Nous discuterons dans un premier temps de géométrie spectrale en dimension 1 et 2. Il existe en effet un lien entre le nombre de valeurs propres du laplacien et la géométrie du domaine associée à l’équation acoustique d’Helmholtz.

Dans un second temps, nous explorerons la naissance du concept de solution fondamentale d’un opérateur différentiel. Celui-ci suggère deux notions aujourd’hui fondamentales : l’ellipticité et l’hypo-ellipticité.

Enfin, si le temps nous est favorable, nous parlerons du théorème original de Rockland de 1978, lequel dresse un parallèle entre hypo-ellipticité et théories des représentations du groupe d’Heisenberg.

Dans cet exposé je parlerai de percolation, qui est un domaine relativement récent des probabilités discrètes (1957). Étant donné un graphe $G=(V,E)$, une configuration de percolation $\omega$ sur $G$ est un élément de $\{0,1{\}}^E$, où la valeur $1$ pour une arête $e\in E$ code le fait qu’on considère que cette arête est « ouverte », et la valeur $0$ qu’elle est « fermée ». On peut voir cette configuration comme un sous-graphe de $G$, en conservant les sommets de $G$ et où l’ensemble des arêtes est $\{e\in E:\omega (e)=1\}$. Le choix d’une mesure de probabilité sur l’ensemble des configurations de percolation de $G$ définit un modèle de percolation sur $G$.

La percolation de Bernoulli, modèle qu’on appellera « sans contraintes », sera le premier modèle étudié. Je parlerai de grands résultats qui ont été obtenus, mais également de certaines conjectures qui demeurent sur des graphes relativement simples.

Enfin j’aborderai le cas des modèles dits « avec contraintes », qui constituent le sujet de ma thèse. Mon but sera de faire ressortir les difficultés que peuvent apporter ces contraintes, et de montrer des exemples de façons de les contourner.

La méthode de la signature a été largement utilisée pour l’analyse des séries temporelles multivariées. Cette approche a prouvé son efficacité pour de nombreuses applications  en apprentissage statistique. La définition d’une notion de barycentre dans l’espace des signatures est un premier pas prometteur permettant de développer de nouvelles extensions de l’analyse en composantes principales (ACP) ou de l’algorithme des k-moyennes aux séries temporelles.

Le but de cet exposé est de présenter les différents concepts de base de la géométrie, en particulier de la géométrie complexe. L’objet de base de toute géométrie est la variété (différentielle, algébrique, complexe) qui généralise la notion d’ouvert d’un espace vectoriel. Par exemple, la surface terrestre ressemble localement au plan réel, mais pas dans sa globalité, et la théorie des variétés différentielles va permettre de comprendre cet objet. La géométrie complexe est plus restrictive par ses fonctions sont beaucoup moins nombreuses, mais un exemple qui apparait naturellement l’espace projectif, car il est possible de mettre une structure géométrique sur un ensemble de droites vectorielles. Enfin, les géométries algébrique et analytique complexes entretiennent des liens proches, tout polynôme étant une fonction holomorphe, toute variété algébrique peut-être vue comme une variété complexe. Cependant, les fonctions holomorphes se comportent presque comme des polynômes, il est donc naturel de s’interroger sur une éventuelle réciproque : Dans le cas projectif, la réponse a été donnée par W.L. Chow en 1949.

Résumé à venir

L’homologie persistante est un outil de la théorie simpliciale construit à la fin du XXième siècle et qui s’utilise principalement en Analyse Topologique des Données (TDA) et reconnaissance de forme. L’idée principale est d’extraire un nuage de points d’un objet que l’on souhaite étudier et de transformer ce nuage en un complexe simplicial filtré, en utilisant par exemple la méthode de Vietoris-Rips. Le but de l’homologie persistante est de calculer l’homologie simpliciale du complexe à chaque temps de filtration et d’observer les caractéristiques topologiques qui persistent au cours de la filtration. Cette approche permet d’encoder l’évolution topologique d’un objet à travers une seule structure algébrique. L’homologie persistante a des applications dans de nombreux domaines (en biologie, médecine, astrophysique,…) et dans cet exposé, après avoir défini l’homologie persistante en reprenant les bases de la théorie simpliciale, nous montrerons comment celle-ci peut s’appliquer dans le contexte de l’analyse musicale.

Les variétés de Siegel sont des variétés de Shimura qui paramètrent des variétés abéliennes avec une polarisation. Le premier exemple est la courbe modulaire dont l’importance est cruciale en théorie des nombres : elle intervient dans la preuve du théorème de Fermat-Wiles et plus généralement dans la correspondance de Langlands pour $G{L}_2$ sur $\mathbb{Q}$. Dans cet exposé, j’introduirai les variétés de Siegel en tant que variétés algébriques sur un corps fini et je décrirai les propriétés géométriques de certains fibrés vectoriels automorphes vivant dessus.