Doctorants

La géométrie asymptotique, ou « coarse geometry », se propose d’étudier les propriétés à grande échelle des espaces métriques.
Nous présenterons dans cet exposé comment l’introduction de techniques asymptotiques en K-théorie amène à de nouvelles preuves
de la conjecture de Baum-Connes coarse pour de nouvelles classes de groupes, et de nouvelles preuves de la conjecture de Novikov.

La recherche en climatologie et en océanographie à conduit à résoudre des EDP de plus en plus complexes
sur des domaines de plus en plus variés. Un domaine d’approximation qui semble naturel est celui de la sphère.
Nous proposons dans cet exposé une méthode de calcul basée sur les différences finies sur un maillage de type
Cube-Sphère. Après un rapide aperçu de quelques maillages possibles, nous verrons comment construire le maillage
Cube-Sphère. Puis nous calculerons le gradient sur ce maillage. De manière à illustrer ces calculs, nous résoudrons
l’équation de transport à l’aide d’une méthode de Runge-Kutta en temps filtrée en espace. Si le temps le permet,
nous présenterons les résultats numériques associésà deux test : Le corps solide en rotation autour de la sphère
et le vortex stationnaire.

Le but de cet exposé est de déterminer « explicitement » le dual unitaire d’un groupe de Lie compact.
Pour cela, on commencera par quelques rappels assez généraux concernant les groupes de Lie, les algèbre de Lie,
la mesure de Haar … On verra que si le groupe de Lie G est compact, alors son algèbre de Lie est réductive,
et que ceci est un des points de départ pour la compréhension du dual unitaire (on expliquera au préalable
pourquoi on est peut être amené à s’intéresser aux représentations de l’algèbre de Lie de G). On appliquera
cela dans un cas explicite, à savoir pour G = SU(2). Si le temps le permet, on fera une ouverture sur les
représentations des groupes de Lie non compacts, en parlant par exemple de la notion de (J,K)-modules.

La théorie des représentations a été introduite vers la fin de XIXe siècle par le mathématicien allemand
Frobenius, motivé par une lettre de Dedekind. Cette théorie a connu un développement considérable depuis,
et vouloir essayer de résumer cette dernière relèverait de la folie. Le but des présentations que je vais
faire est de donner quelques idées sur ce qui peut se faire, et mettre en avant certains des nombreux
problèmes qu’il reste actuellement au sein de cette magnifique théorie. Pour cette première présentation,
je commencerai par rappeler les fondamentaux de la théorie des représentations linéaires des groupes finis.
Ensuite, on étudiera ensemble un exemple très intéressant, à savoir le groupe symétrique. Le but étant de
déterminer explicitement le dual unitaire dans ce cas. Si le temps le permet, je conclurai par une présentation
très rapide de la dualité de Schur-Weyl, ce qui nous permettra de voir un exemple où les représentations du
groupe symétrique apparaissent explicitement.

L’approximation des équations aux dérivées partielles est un domaine mathématique lié à de nombreuses autres
sciences. Pour cette raison il est important de tenir compte des contraintes que ces autres domaines
apportent. Après une première partie dans laquelle j’introduirais l’approximation des EDP, je parlerais des
différences finies. Les méthodes de différences finies sont historiquement les premières méthodes a avoir été
développées. Après en avoir énoncé quelques résultats théoriques et présenté quelques schémas classiques, dans
une troisième partie, nous constaterons des limites de ces méthodes et nous proposerons quelques améliorations.

J’introduirai dans cette exposé la méthode des chemins de Littelmann qui permet notamment de
décomposer en irréductible la tensorisation de deux représentations pour une algèbre de Lie simple.
On verra des exemples simples. Si le temps le permet je donnerai des résultats sur les représentations
usuelle de su(n) sur les formes totalement antisymétrique et totalement symétrique.

La notion de racine dans le cas des algèbres de Lie semi-simples est une notion
centrale. Elle est primordiale, par exemple, pour la classification et les
représentations des ces dernières. Le but de cette présentation est de donner un
analogue de ces systèmes dans le cas des superalgèbres de Lie. L’idée sera de
commencer par des rappels concernant la théorie des algèbres de Lie, de redonner par
la suite quelques définitions et propriétés élémentaires des superalgèbres de Lie puis
de présenter la généralisation de la notion de racines pour ces dernières. Si le
temps le permet, on appliquera cela dans un cas concret, à savoir la superalgèbre de
Lie générale linéaire, puis on mettra en évidence l’importance des racines dans la
théorie des représentations des superalgèbres de Lie.