Doctorants

A Newman polynomial is a polynomial with coefficients in {0,1} and
constant term 1. We investigate which integer-coefficient polynomials
divide a Newman polynomial, focusing on those with small Mahler measure.
Using mixed-integer linear programming, we determine the divisibility
status of all 8,438 known polynomials with Mahler measure less than 1.3.
We further exhibit new polynomials that divide no Newman polynomial,
improving the best known upper bound on a conjectural universal constant
σ to approximately 1.419.

Wednesday 20/05 – MSA 2.240 :

• • 12:30 – 14:00 : Lunch + Poster Session

• • 14:00 – 14:45 : Talk
    
    Title

    Abstract

• • 14:45 – 15:30 : Rodolphe Abou Assali – IECL
    
    Steklov problems and spectral inequalities in planar domains

    Classical spectral problems, such as the Dirichlet and Neumann problems, focus on the analysis of eigenvalues and eigenfunctions with applications to heat conduction, sound propagation, and vibrational modes in domains with boundaries. Other well-known problems are the Steklov and biharmonic Steklov problems with various boundary conditions. Kuttler and Sigillito established fundamental inequalities relating the eigenvalues of these problems in planar domains. These results were later extended to the scalar case on Riemannian manifolds by Hassannezhad and Siffert. We recently generalized these inequalities to the setting of differential forms. In this talk, we present these spectral problems and the Kuttler-Sigillito inequalities in planar domains, and briefly discuss their generalization.

• • 15:30 – 16:00 : Break

• • 16:00 – 16:45 : Talk
    
    Title

    Abstract

• • 16:45 – 17:30 : Valentin Clarisse – IECL
    
    General relativity and Gregory-Laflamme instability

    The Einstein equations are central to general relativity. They relate the geometry of spacetime to the distribution of matter within it. As we will see later, they form a particularly challenging system of partial differential equations to study. The first major breakthrough in mathematical relativity was achieved by Y. Choquet-Bruhat, who proved in 1952 the local-in-time existence of solutions to the Einstein equations viewed as an evolution problem. More recently, in 1993 and 1994, R. Gregory and R. Laflamme numerically demonstrated the instability of certain types of black string extensions in dimensions greater than or equal to $5$. In 2012, R.M. Wald and S. Hollands developed a fairly general method and criterion for studying the linear stability of black holes, which can be applied to establish Gregory–Laflamme-type instabilities. The article we will focus on, which is more accessible, comes from the doctoral thesis of Sam C. Collingbourne. It was submitted in 2020 and is entitled The Gregory-Laflamme Instability of the Schwarzschild Black String Exterior. It provides a direct mathematical proof of the Gregory–Laflamme linear instability in dimension $5$.

Thursday 21/05 – MSA 2.240 :

• • 9:00 – 9:45 : Talk
    
    Title

    Abstract

• • 9:45 – 10:30 : Yingtong Hou – IECL
    
    Butcher series: from ordinary differential equations to Rough Path Theory and Regularity Structures

    In this talk, I will give a gentle introduction to Butcher series (B-series), Rough Path Theory, Regularity Structures, and their underlying Hopf algebras. Rough Path Theory and Regularity Structures provide pathwise frameworks for solving rough differential equations (RDEs) and singular stochastic partial differential equations (SPDEs), respectively. We will see that all these pathwise solution ansatz are obtained from iterating Taylor expansions. Therefore, Rough Path Theory and Regularity Structures can be viewed as generalisations of B-series designed for solving ordinary differential equations (ODEs). I will present the derivation of B-series-type solution ansatz for ODEs, RDEs, and SPDEs. Rooted trees and Hopf algebras appear naturally in encoding the expansions of solution ansatz. No prior background knowledge in rough analysis is required. Familiarity with Taylor expansions will be sufficient.

• • 10:30 – 11:00 : Break

• • 11:00 – 11:45 : Talk
    
    Title

    Abstract

• • 11:45 – 12:30 : Juan Mardomingo-Sanz – IECL
    
    Slow-fast limits of stochastic particle systems arising in telomere biology

    The ends of linear chromosomes, called telomeres, shorten at each cell replication, eventually driving the cells to a senescent state when they become too short. The enzyme telomerase, present in cancerous cells and some unicellular organisms, elongates the telomeres and allows cells to continue replicating. Recent experiments show that if this enzyme is inactivated some rare survivors (ALT), which elongate their telomeres without telomerase, will appear and will eventually invade the cultures. I will present a simple stochastic particle system which accounts for the emergence and invasion of these ALT cells under an appropriate scaling with different speeds for each cell type.

• • 12:30 – 14:00 : Lunch

• • 14:00 – 14:45 : Talk
    
    Title

    Abstract

• • 15:00 – 17:30 : Scavenger Hunt in the city (Luxembourg)

• • 19:00 : Social Dinner at Brasserie du Cercle (Luxembourg City)

Friday 22/05 – MSA 3.500 :

• • 9:00 – 9:45 : Gautier Schanzenbacher – IECL
    
    An Introduction to Hyperbolic Geometry: Surfaces, Geodesics, and Entropy

    For centuries, mathematicians tried to prove Euclid’s fifth axiom (the parallel postulate) using only the first four. In the 19th century, Gauss showed that replacing this axiom leads to a new, consistent geometry: non-Euclidean geometry. In particular, if we suppose that there are infinitely many lines parallel to a given line passing through a single point, we obtain Hyperbolic Geometry. In this talk, I will start from these foundations to define hyperbolic surfaces. We will then explore the world of curves, geodesics, and homotopy classes to understand the concept of entropy of the geodesic flow of a hyperbolic surface in the simplest way possible.

• • 9:45 – 10:30 : Talk
    
    Title

    Abstract

• • 10:30 – 11:00 : Break

• • 11:00 – 11:45 : Musbahu Idris – IECL
    
    Algorithmic Aspects of Newman Polynomials and Their Divisors

    A Newman polynomial is a polynomial with coefficients in ${0,1}$ and constant term $1$. We investigate which integer-coefficient polynomials divide a Newman polynomial, focusing on those with small Mahler measure. Using mixed-integer linear programming, we determine the divisibility status of all $8,438$ known polynomials with Mahler measure less than $1.3$. We further exhibit new polynomials that divide no Newman polynomial, improving the best known upper bound on a conjectural universal constant $\sigma$ to approximately $1.419$.

• • 11:45 – 12:30 : Talk
    
    Title

    Abstract

• • 12:30 – 14:00 : Lunch

Le préconditionnement est couramment utilisé pour réduire l’effet des erreur numériques pour la résolution de systèmes linéaires.
Dans cet exposé nous proposons de l’utiliser pour stabiliser des schémas de résolution d’EDP paraboliques à l’aide de schémas type RSS.
Des applications de ce schémas sont données pour la résolution d’équations issues de la mécaniques des fluides (Équation de Navier-Stokes) mais aussi des équations utilisées en traitement des images (équations d’Allen-Cahn et Cahn-Hilliard).

Dans cet exposé, nous nous intéressons à la représentation et à la prise en compte des incertitudes dans les systèmes de prévision hydrologique probabilistes à moyen-terme. Ces incertitudes proviennent principalement de deux sources : (1) de l’imperfection des prévisions météorologiques (utilisées en intrant de ces systèmes) et (2) de l’imperfection de la représentation du processus hydrologique par le simulateur pluie-débit (SPQ) (au cœur de ces systèmes).

La performance d’un système de prévision probabiliste s’évalue par la précision de ses prévisions conditionnellement à sa fiabilité. L’approche statistique que nous suivons procure une garantie de fiabilité à condition que les hypothèses qu’elle implique soient réalistes. Nous cherchons de plus à gagner en précision en incorporant des informations auxiliaires.

Nous proposons, pour chacune des sources d’incertitudes, une méthode permettant cette incorporation : (1) un post-traitement des prévisions météorologiques s’appuyant sur la propriété statistique d’échangeabilité et permettant la prise en compte de plusieurs sources de prévisions, ensemblistes ou déterministes ; (2) un post-traitement hydrologique utilisant les variables d’état des SPQ par le biais d’un modèle Probit arbitrant entre deux régimes hydrologiques interprétables et permettant ainsi de représenter une incertitude à variance hétérogène.
Ces deux méthodes montrent de bonnes capacités d’adaptation aux cas d’application variés fournis par EDF et Hydro-Québec, partenaires et financeurs du projet. Elles présentent de plus un gain en simplicité et en formalisme par rapport aux méthodes opérationnelles tout en montrant des performances similaires.

Après avoir énoncé le formalisme des C*-algèbres commutatives en m’appuyant sur le cas simple de C_0(X) où X est un espace localement compact,
je donnerai un exemple de problème à N-corps quantique qui permet de construire une C*-algèbre dont nous déterminerons le spectre.
Il existe une action naturelle de R^n sur cette C*-algèbre. Si le temps me le permet, je donnerai des détails sur le spectre du produit
croisé de cette C^*algèbre par R^n.

La variété des caractères d’un groupe de type fini vers un groupe algébrique complexe est (à peu de choses près) l’ensemble des classes de conjugaisons de représentations de ce groupe de type fini vers le groupe algébrique complexe.
Cette variété peut avoir des singularités algébriques. Nous allons nous intéresser au cas où le groupe de type fini est un groupe libre ou un groupe de surface et le groupe algébrique complexe est PSL(p,C) avec p premier.
En particulier, nous montrerons que la classe de conjugaison d’une représentation irréductible dont le centralisateur est non-trivial est une singularité algébrique de la variété des caractères. Si le temps le permet, nous verrons des contre-exemples à cette propriété si l’on change le groupe de type fini.

Dans cet exposé, nous étudierons la notion de relation de dispersion, d’un point de vue physique, et mathématiques. Nous nous intéresserons plus particulièrement au cas des plasmas froids magnétisés à travers l’exemple des ceintures de Van Allen. Le but sera alors d’exposer la situation physique étudiée et les différents résultats obtenus jusqu’à maintenant sur le sujet.

Dans les années 1930, suite aux travaux de Elie Cartan et Hermann Weyl, il a été observé que des liens fondamentaux existaient entre la théorie des fonctions spéciales (introduites en analyse au 19e siècle (ce sont des fonctions analytiques non élémentaires qui sont apparues comme des solutions d’équations de la physique mathématiques, comme les fonctions de Bessel ou les fonctions hypergéométriques) et la théorie des représentations des groupes de Lie linéaires. En particulier, les fonctions sphériques jouent un rôle important dans l’étude des représentations de dimensions infinies de ces groupes.
Dans les années 1950, Gelfand introduit formellement le concept qui porte aujourd’hui son nom, en considérant un groupe G, un sous-groupe compact K et en étudiant les fonctions sur G étant K-bi-invariantes.
Ce sera le point de départ de cet exposé. Je commencerai par introduire la notion de paires de Gelfand en donnant quelques propriétés de ces dernières. Le but sera ensuite de donner quelques résultats concernant les fonctions et mesures sphériques et d’appliquer cela dans un cadre bien précis: les paires de Gelfand nilpotentes. Pour cela, on utilisera un exemple fondamental dans ce cadre, celui où K = U(n, C) et G défini comme le produit semi-direct de K avec le groupe de Heisenberg Hn (suivant les travaux de Benson – Jenkins – Ratcliff)

Tout d’abord, étant donné un nombre $qinmathbb{C}^*$ (tel que $q^2neq -1$) on donnera la définition classique de $SL_q(2)$ en tant qu’algèbre de Hopf.

Le but de cet exposé est de donner une motivation de cette définition à partir de la théorie des noeuds. Pour cela, on commencera par rappeler quelques notions élémentaires de la théorie des noeuds en donnant une version simple et adaptée du polynôme de Jones. Ensuite, on décrira de façon succincte une méthode de manipulation des noeuds en associant des matrices à chaque « minimum » , « maximum » ou croisement du noeud (emph{méthode qui s’inspire de la théorie quantique des champs}). Ainsi, la version adaptée du polynôme de Jones que l’on a construit au début pourra être modélisée en termes de matrices, ce qui nous permettra de conclure la construction du groupe quantique $SL_q(2)$.

Cet exposé tout public sera l’occasion d’introduire la notion probabiliste de couplage, et de la mettre en place pour étudier le KDEM (kinetic dietary exposure model) introduit par Bertail, Clémençon et Tressou en 2008. Nous verrons comment ce modèle de pharmacocinétique, ou contamination alimentaire, se modélise par un processus de Markov déterministe par morceaux, et comment on peut obtenir des estimés sur sa vitesse de convergence vers une mesure stationnaire.

Qui des deux jumeaux, de celui qui reste sur terre ou de celui qui voyage à grande vitesse, vieillit le plus vite? Le chat de Schröndiger est-il mort ou en vie? Les objets quantiques sont-ils des ondes ou des particules? Pourquoi ne peut-on pas connaître à la fois la vitesse et la position d’un objet quantique? L’intuition et le langage naturels semblent impuissants face à ces questions et l’utilisation des mathématiques semblent incontournables. Je vous propose donc de découvrir, ou de redécouvrir, la théorie de la relativité restreinte et la mécanique quantique dont le mariage a donné naissance à la théorie des champs quantiques, le cadre formel du célèbre modèle standard de la physique des particules.