Doctorants

The Wasserstein space $\mathscr{P}(M)$ associated with a closed Riemannian manifold is defined as the space of probability measures on the manifold, endowed with the so-called Otto metric, which provides it with the structure of a formal infinite-dimensional Riemannian manifold. In this talk I will describe the geometric features of this space, emphasizing its connections with optimal transport theory and some classical PDEs. I will then introduce the group of diffeomorphisms $\mathscr{D}(M)$, viewed as an Inverse Limit Hilbert Lie group, and present the Riemannian submersion structure that relates $\mathscr{D}(M)$ and $\mathscr{P}(M)$. The space $\mathscr{P}_\infty(M) \subset \mathscr{P}(M)$ of smooth positive measures is of particular interest. The geodesic convexity of such a space highly depends on the geometry of the base manifold. I will review some significant developments on this topic, mainly due to Ma, Trudinger, Wang, Loeper and Villani. If time permits, I will try to introduce some of the topics of my PhD thesis which focuses on the study of random paths on $\mathscr{P}(M)$ and its tangent bundle $T\mathscr{P}(M)$.

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Une équation aux dérivées partielles est la donnée d’un opérateur, d’un second membre et d’un ouvert de l’espace. Comment se comportent les solutions de cette équation lorsque l’ouvert est légèrement perturbé ? À travers différentes illustrations, nous étudierons les différentes topologies possibles sur les domaines : convergence au sens de Hausdorff, des compacts, etc. Avant cela, nous rappellerons les différentes notions utilisées pour étudier les EDP variationnelles. Ensuite, nous chercherons les bonnes conditions sur les ouverts pour assurer la convergence des solutions ; lorsque l’opérateur est le Laplacien, on parle de $\gamma$-convergence. Ces résultats permettent notamment de prouver l’existence de formes minimales pour des problèmes d’optimisation de forme.

La dynamique hamiltonienne en géométrie de Poisson permet, via la géométrie différentielle, une description efficace et puissante des symétries de nombreuses équations de la mécanique conservative. J’expliquerai les grandes lignes de la théorie et l’illustrerai par des exemples. Enfin, je raconterai comment elle est mise à profit dans la conception de méthodes numériques résolvant lesdites équations en possédant des propriétés qualitatives remarquables, comme la préservation de symétries ou la stabilité au voisinage d’une singularité. J’illustrerai ces méthodes par des simulations numériques.

L’exposé repose en partie sur le preprint « Symplectic groupoids for Poisson integrators », 0.C., 2022 (arXiv : 2205.04838).

La méthode usuelle que nous utilisons pour écrire les nombres réels est le développement en base entière, qui consiste à exprimer un nombre réel $x$ selon les puissances négatives d’un entier $b>1$. Une question naturelle pour étendre ce procédé est la suivante : Que se passe-t-il si dans ce procédé on remplace l’entier $b$ par un réel $\beta>1$ ?

Nous verrons dans cet exposé les différences de fonctionnement des bases $\beta$ par rapport aux bases entières et parlerons de l’intérêt de considérer certaines classes de nombres comme les nombres de Pisot en tant que bases.

Dans cet exposé, nous discuterons autour de l’équation du plus bas niveau de Landau, qui apparaît dans de nombreuses situations de la mécanique quantique, telles que la supraconductivité ou les condensats de Bose-Einstein. Nous commencerons par l’étude des propriétés basiques de l’équation : symétries, quantités conservées, existence et unicité d’une solution. Dans le but de mieux comprendre cette équation, nous regarderons de plus près une classe de solutions particulières appelées ‘ondes stationnaires’. Si le temps nous le permet, nous étudierons une conjecture concernant le réseau d’Abrikosov.

Au travers de deux grands problèmes de la Physique et plus généralement de l’Histoire des mathématiques, cet exposé vise à motiver l’étude des opérateurs différentiels. Nous discuterons dans un premier temps de géométrie spectrale en dimension 1 et 2. Il existe en effet un lien entre le nombre de valeurs propres du laplacien et la géométrie du domaine associée à l’équation acoustique d’Helmholtz.

Dans un second temps, nous explorerons la naissance du concept de solution fondamentale d’un opérateur différentiel. Celui-ci suggère deux notions aujourd’hui fondamentales : l’ellipticité et l’hypo-ellipticité.

Enfin, si le temps nous est favorable, nous parlerons du théorème original de Rockland de 1978, lequel dresse un parallèle entre hypo-ellipticité et théories des représentations du groupe d’Heisenberg.

Dans cet exposé je parlerai de percolation, qui est un domaine relativement récent des probabilités discrètes (1957). Étant donné un graphe $G=(V,E)$, une configuration de percolation $\omega$ sur $G$ est un élément de $\{0,1\}^E$, où la valeur $1$ pour une arête $e\in E$ code le fait qu’on considère que cette arête est « ouverte », et la valeur $0$ qu’elle est « fermée ». On peut voir cette configuration comme un sous-graphe de $G$, en conservant les sommets de $G$ et où l’ensemble des arêtes est $\{e\in E~:~ \omega(e)=1\}$. Le choix d’une mesure de probabilité sur l’ensemble des configurations de percolation de $G$ définit un modèle de percolation sur $G$.

La percolation de Bernoulli, modèle qu’on appellera « sans contraintes », sera le premier modèle étudié. Je parlerai de grands résultats qui ont été obtenus, mais également de certaines conjectures qui demeurent sur des graphes relativement simples.

Enfin j’aborderai le cas des modèles dits « avec contraintes », qui constituent le sujet de ma thèse. Mon but sera de faire ressortir les difficultés que peuvent apporter ces contraintes, et de montrer des exemples de façons de les contourner.