Doctorants

Je ne vois pas l’avenir. Et c’est bien là le souci : les problèmes d’optimisation liés à la prise de décision concernent bien trop souvent des décisions futures.
Optimiser l’espérance mathématique en fonction des événements envisageables ? Encore faut-il en connaître les probabilités.

Nous avons toutefois connaissance du passé. Une approche consiste alors à résoudre, dans un premier temps, le problème empirique construit à partir de ces données. La solution que nous obtiendrons sera-t-elle proche d’une solution optimale pour le problème de départ ? Combien de données sont nécessaires pour réaliser cette approximation ? Nous verrons, dans un premier temps, comment l’optimisation stochastique traite ces questions.

Nous discuterons ensuite des limites du critère de l’espérance, notamment dans les cas où un risque de grande perte est compensé par l’espoir de grands bénéfices. Ces limites motivent l’introduction de mesures de risque comme critère dans les problèmes d’optimisation stochastique. Nous en aborderons, pour finir, une généralisation multivariée et présenterons les premiers résultats associés.

Dans cet exposé, nous discuterons autour de l’équation du plus bas niveau de Landau, qui apparaît dans de nombreuses situations de la mécanique quantique, telles que la supraconductivité ou les condensats de Bose-Einstein. Nous commencerons par l’étude des propriétés basiques de l’équation : symétries, quantités conservées, existence et unicité d’une solution. Dans le but de mieux comprendre cette équation, nous regarderons de plus près une classe de solutions particulières appelées ‘ondes stationnaires’. Si le temps nous le permet, nous étudierons une conjecture concernant le réseau d’Abrikosov.

Au travers de deux grands problèmes de la Physique et plus généralement de l’Histoire des mathématiques, cet exposé vise à motiver l’étude des opérateurs différentiels. Nous discuterons dans un premier temps de géométrie spectrale en dimension 1 et 2. Il existe en effet un lien entre le nombre de valeurs propres du laplacien et la géométrie du domaine associée à l’équation acoustique d’Helmholtz.

Dans un second temps, nous explorerons la naissance du concept de solution fondamentale d’un opérateur différentiel. Celui-ci suggère deux notions aujourd’hui fondamentales : l’ellipticité et l’hypo-ellipticité.

Enfin, si le temps nous est favorable, nous parlerons du théorème original de Rockland de 1978, lequel dresse un parallèle entre hypo-ellipticité et théories des représentations du groupe d’Heisenberg.

Dans cet exposé je parlerai de percolation, qui est un domaine relativement récent des probabilités discrètes (1957). Étant donné un graphe $G=(V,E)$, une configuration de percolation $\omega$ sur $G$ est un élément de $\{0,1\}^E$, où la valeur $1$ pour une arête $e\in E$ code le fait qu’on considère que cette arête est « ouverte », et la valeur $0$ qu’elle est « fermée ». On peut voir cette configuration comme un sous-graphe de $G$, en conservant les sommets de $G$ et où l’ensemble des arêtes est $\{e\in E~:~ \omega(e)=1\}$. Le choix d’une mesure de probabilité sur l’ensemble des configurations de percolation de $G$ définit un modèle de percolation sur $G$.

La percolation de Bernoulli, modèle qu’on appellera « sans contraintes », sera le premier modèle étudié. Je parlerai de grands résultats qui ont été obtenus, mais également de certaines conjectures qui demeurent sur des graphes relativement simples.

Enfin j’aborderai le cas des modèles dits « avec contraintes », qui constituent le sujet de ma thèse. Mon but sera de faire ressortir les difficultés que peuvent apporter ces contraintes, et de montrer des exemples de façons de les contourner.

La méthode de la signature a été largement utilisée pour l’analyse des séries temporelles multivariées. Cette approche a prouvé son efficacité pour de nombreuses applications  en apprentissage statistique. La définition d’une notion de barycentre dans l’espace des signatures est un premier pas prometteur permettant de développer de nouvelles extensions de l’analyse en composantes principales (ACP) ou de l’algorithme des k-moyennes aux séries temporelles.

Le but de cet exposé est de présenter les différents concepts de base de la géométrie, en particulier de la géométrie complexe. L’objet de base de toute géométrie est la variété (différentielle, algébrique, complexe) qui généralise la notion d’ouvert d’un espace vectoriel. Par exemple, la surface terrestre ressemble localement au plan réel, mais pas dans sa globalité, et la théorie des variétés différentielles va permettre de comprendre cet objet. La géométrie complexe est plus restrictive par ses fonctions sont beaucoup moins nombreuses, mais un exemple qui apparait naturellement l’espace projectif, car il est possible de mettre une structure géométrique sur un ensemble de droites vectorielles. Enfin, les géométries algébrique et analytique complexes entretiennent des liens proches, tout polynôme étant une fonction holomorphe, toute variété algébrique peut-être vue comme une variété complexe. Cependant, les fonctions holomorphes se comportent presque comme des polynômes, il est donc naturel de s’interroger sur une éventuelle réciproque : Dans le cas projectif, la réponse a été donnée par W.L. Chow en 1949.

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