Doctorants

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Cet exposé tourne autour de trois problèmes distincts mais fortement reliés. Tout d’abord, l’étude de la limite hydrodynamique de systèmes de particule soumises à des dynamiques de branchement et de sélection, qui est la question centrale que je me suis posée pendant ma thèse.

Ensuite, les équations de réaction-diffusion faisant intervenir une frontière libre contrôlant la masse totale, connus depuis une vingtaine d’année pour être reliés aux systèmes de particule en interactions.

Et enfin, le problème inverse du premier temps de passage pour un processus markovien, que l’on peut interpréter comme une reformulation probabiliste des problèmes à frontière libre.

Mon but sera de vous présenter ces trois problèmes et de vous expliquer l’état de la littérature sur ce qui les relient.

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This work addresses the application of self-insurance in networks, where the network’s edges represent insured subjects facing losses. Each edge undertakes preventive efforts that influence the loss distribution, modeled as random variables. Insurance coverage is proportional, and a law-invariant coherent risk measure is considered to assess the network’s total risk. Furthermore, the work analyzes how preventive efforts impact the insurance cost and risk minimization. An optimization problem is proposed to determine the optimal levels of coverage and preventive effort, considering losses distributed according to a Pareto distribution. Through numerical techniques, specific cases, including global and local efforts, are studied to evaluate the model’s behavior in different scenarios.

• « Ô mon beau pendule ! » :

Si grand nombre d’entre vous ont déjà vu le Professeur Tournesol s’amuser avec son pendule, le pendule cycloïdal de Huygens vous sera sans doute étranger.

Le premier est simplement le système matériel composé d’un fil accroché à une extrémité et d’une masse accrochée à son autre extrémité. Le tout oscille sous l’effet du poids. On s’interrogera sur la période des oscillations du pendule i.e. le temps que met la bille pour faire un aller-retour. Dépend-t-il de la masse ? De la longueur du fil ? De l’angle initial auquel on lâche la masse ? À l’aide de théorèmes de la mécanique newtonienne, nous mettrons en équation le mouvement du pendule simple et répondrons théoriquement à ces questions.
Dans le cas de l’approximation des petits angles, l’équation de l’oscillateur harmonique fournit l’isochronisme des oscillations i.e. la période ne dépend pas de l’angle initial auquel on lâche la masse. On s’interroge : Quelle est donc exactement le temps pris par la masse pour effectuer une période ?

On s’interroge ensuite : Mais quelle courbe du plan (si elle existe !) devrait suivre la masse pour que le temps de parcours mis pour effectuer une période ne dépende pas de l’endroit où on la lâche ? Cette question occupât l’esprit de ceux qui, désireux de partir à la découverte du Monde, cherchaient un moyen de se repérer avec précision en mer. Le pendule devait alors permettre de mesurer le temps, sans se dérègler sous la houle. Surprise : cette trajectoire n’est pourtant rien de plus que la trajectoire  que fait  la valve d’une roue de vélo lorsque le ce dernier roule sur du plat.

• « Le niveau de distribution de la fonction somme des chiffres le long des progressions arithmétiques » :

Pour $q\ge 2,n\in \mathbb{N}$, soit $s_q(n)$ la somme des chiffres de $n$ écrit en base $q$. L. Spiegelhofer (2020) a prouvé que la suite de Thue-Morse a un niveau de distribution de 11, améliorant un ancien résultat de Fouvry et Mauduit. Nous généralisons ce résultat aux suites de type ${\{\exp \left(2\pi i\frac{\ell }{b}{s}_{q(n)}\right)\}}_{n\in \mathbb{N}}$ et fournissons un exposant explicite dans la borne supérieure.

• « Stonean spaces » :

In this talk we will give an introduction to stonean spaces. We will show that stonean spaces are exactly the projective objects in the category of compact Hausdorff spaces, and every compact Hausdorff space is a continuous image of a stonean space. As an application, we show that condensed sets (i.e. sheaves on the site of category of stone spaces) are equivalent to sheaves on the site of category of compact Hausdorff spaces, and to sheaves on the site of category of stonean spaces.

Cet exposé discute de quelques résultats originaux qui ne sont généralement pas enseignés dans un cursus classique du Supérieur en Mathématiques. Il s’agit en effet du lemme de Wielandt (1949), du théorème de Kleinecke-Shirokov (1957-1956) et du théorème de Fulglede-Putnam-Rosenblum (1950-1951-1958). Provenant historiquement de la théorie des algèbres d’opérateurs, il est en fait naturel de les traduire dans le langage des algèbres de Banach dont leur père, le mathématicien soviétique I. M. Gelfand, a démontré entre 1939 et 1941 la complémentarité singulière qui s’exprime entre algèbre et analyse.

C’est cette complémentarité qui est réaffirmée ici. Ces résultats gravitent tous autour de la notion de (non)-commutativité qui est le cœur de la mécanique quantique et de la théorie des opérateurs. Plusieurs démonstrations du théorème de Wielandt sont proposées dont l’une avec l’aide du théorème de Kleinecke-Shirokov. Les résultats ci-dessus sont mis en lumière par quelques réflexions dans l’algèbre ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ des matrices carrées et par des questions personnelles sur les propriétés d’un couple $(a,b)$ d’éléments dans certaines $\mathbb{C}$-algèbres contraint à satisfaire une relation du type $[a,b]=\alpha a,\alpha \in {\mathbb{C}}^{\ast }$. L’exposé est enrichi de remarques historiques et contextuelles sur la théorie des algèbres de Banach et des opérateurs.

Barycentres conditionnels de Wasserstein pour modéliser l’effet des conditions expérimentales sur la dégradation de batteries

Les performances des batteries électriques se dégradent au cours du temps. C’est le cas par exemple de la quantité d’énergie stockée qui diminue au cours du temps. Un enjeu important pour les constructeurs de batteries est de modéliser la dégradation caractéristique d’un nouveau modèle de batterie afin d’évaluer sa valeur.

Dans une présentation précédente, lors de la journée des doctorants, nous avions présenté des méthodes à base processus gaussiens pour modéliser la dégradation des batteries sous une condition de référence. Cela fournis un premier outil mais est souvent insuffisant en pratique. En effet, la dégradation des batteries dépend fortement de ses conditions d’utilisation, la température ambiante, le courant de charge ou de décharge… Nous avons donc besoin d’une méthode capable de prédire la dégradation en fonction des conditions expérimentales, et ce même pour des conditions jamais observées.

Face aux difficultés rencontrées à modéliser l’effet des conditions avec les méthodes utilisées précédemment, nous proposons une autre approche reposant sur la théorie du transport optimal. Dans cette présentation nous prendrons le temps d’introduire les éléments essentiels du transport optimal (problème de Monge, Kantorovitch …). Puis nous introduirons l’idée plus récente du barycentre conditionnel de Wassertein comme de méthode de régression lorsque les sorties sont des distributions de probabilités. La régression Fréchet, un type particulier de barycentre conditionnel, sera utilisée pour modéliser l’effet de la température sur le vieillissement des batteries.

Absorption d’un mouvement brownien réfléchi

Après avoir défini le mouvement brownien, j’essayerai de motiver l’étude d’une de ses très nombreuses généralisations : le mouvement brownien réfléchi (RBM) dans un cône. Nous verrons que ce processus est assez bien décrit par un petit jeu de paramètres. Nous discuterons en particulier de méthodes utiles au calcul de la probabilité qu’un RBM soit absorbé au sommet du cône. Cet exposé est issu d’un travail en collaboration avec Sandro Franceschi.

How cancer evolution can be modelled ? An example of a toy model giving insights on such evolutionary process.

Lors d’une palpitante partie de Qui-Est-Ce et des enjeux qu’une glorieuse victoire peut y représenter, il paraît fondamental d’y établir des stratégies solides : Quelles sont les questions qui optimisent nos chances de gagner ? Nous aborderons cette question sous le prisme de la théorie de l’information. Plus précisément, nous aborderons la notion d’entropie et en exhiberons quelques propriétés fondamentales pour mieux la cerner. Nous en profiterons pour introduire l’entropie relative, aussi appelée divergence de Kullback-Leibler, et présenter quelques résultats qui la font intervenir, notamment dans la théorie des grandes déviations avec le théorème de Sanov.

Journée conviviale et mathématique pour la rentrée des doctorants de l’IECL.

Programme : 

Matin :

• 9h : Accueil café
• 9h30 : Fatma Aouissaoui : Détection de ruptures faibles dans les modèles CHARN ;
• 10h10 : Hichem Zouari : Entiers friables sous contraintes digitales ;
• 10h50 : Pause ;
• 11h20 : Zeinab Mohamad Ali : Well-posedness and stabilization of coupled hyperbolic equations involving Timoshenko and Rao-Nakra systems by various types of controls ;
• 12h20 : Pause repas.

Après-midi :

• 14h : Yann Millot : De la ligne de fuite aux jeux de société ;
• 15h : Benjamin Florentin : Un analogue de l’hypothèse de Riemann en géométrie spectrale ;
• 15h40 : Pause ;
• 16h : Benjamin Larvaron :  Modélisation de la dégradation de batteries Lithium-ion avec incertitudes à l’aide de processus Gaussiens ;
• 16h40 : Serena Pedon : L’équation fonctionnelle de la fonction Zêta de Riemann ;
• 17h20 : Fin.

Comment stocker des données désordonnées ?

Imaginez être gérant.e d’un grand parking, réservé aux voitures abonnées. Une barrière y bloque l’entrée et ne s’ouvre que pour les voitures inscrites. Régulièrement des gens viennent vous voir pour y inscrire leur plaque d’immatriculation, que vous devez noter quelque part. Vous pourriez simplement les écrire les unes à la suite des autres sur une grande feuille, mais ce ne serait pas très malin pour les retrouver après. En effet quand une voiture s’approche de la barrière du parking, il faut vite savoir si sa plaque d’immatriculation est inscrite ou non.
On aimerait donc une manière intelligente de ranger ces numéros de plaques, de sorte à répondre efficacement à ces requêtes. Plus formellement, on cherche une structure informatique dans laquelle insérer des nouvelles données puis les retrouver se fait en temps raisonnable. Ces considérations mènent à la notion d’Arbre Binaire de Recherche (BST). Mon but dans cet exposé sera d’introduire cette structure et de présenter des résultats, classiques et nouveaux, concernant son efficacité.