Complex geometry seminar

Titre : Algèbres quantiques affines et schémas de bandes.

Résumé : L’objectif de cet exposé est d’introduire une nouvelle famille d’objets géométriques, appelés schémas de bandes, et d’explorer leurs liens avec la théorie des représentations des algèbres quantiques affines et de leurs versions décalées. On verra que les schémas de bandes permettent de donner une construction géométrique des anneaux de Grothendieck de certaines catégories de représentations des algèbres quantiques affines, ainsi que de démontrer une conjecture de Frenkel et Reshetikhin (1998) donnant une interprétation géométrique du morphisme des q-caractères. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Bernard Leclerc.

titres et résumés à venir

Geometric methods in computational complexity

L’espace de Teichmà¼ller d’une variété $X$ réelle compacte orientée est classiquement défini comme le quotient de l’ensemble des opérateurs complexes sur $X$ par l’action du groupe des difféomorphismes isotopes à  l’identité. C’est naturellement une variété complexe lorsque $X$ est une surface. En dimension supérieure, malheureusement, ce n’est en général ni une variété ni un espace analytique, mais seulement un champ analytique. Le but de cet exposé est de décrire la structure locale de ce champ, en comparant l’espace de Teichmà¼ller au voisinage d’un point $J$ et l’espace de Kuranishi $K$ de $J$. Le point central est d’expliquer qu’il ne s’agit pas simplement du quotient de $K$ par l’action du groupe d’automorphismes de $J$, mais qu’il faut intégrer l’holonomie d’une structure multifeuilletée de l’espace des opérateurs complexes sur $X$.

Gieseker et Maruyama ont construit des espaces de modules de faisceaux semistables au dessus des variétés projectives polarisées de dimension supérieure a un. Le changement de la polarisation entraine en général une variation des espaces de modules correspondants, variation qui a été l’objet d’études approfondies en dimension deux. La poursuite de ces études en dimension supérieure s’est heurtée a l’apparition de façon essentielle des polarisations irrationnelles pour lesquelles même une construction des espaces de modules n’était pas disponible. Dans cet exposé nous présentons un travail en commun avec Daniel Greb et Julius Ross, dans lequel nous introduisons et étudions une nouvelle notion de stabilité qui nous permet de résoudre ces problèmes de construction et de variation au moins en dimension trois. Les nouveaux espaces de modules apparaissent comme des sous-schémas des espaces de modules de représentations de carquois.

L’existence de formes différentielles symétriques sur une variété projective a de nombreuses conséquences géométriques.
Dans cette exposé nous étudierons les formes différentielles symétriques sur les variétés intersections complètes dans l’espace projectif. Nous expliquerons comment dans certains cas il est possible de construire explicitement de tels objets et quelles conséquences on peut en tirer.

Codimension 1 (possibly singular) foliations on complex tori have been classified in
a work by Brunella, whereas Ghys studied codimension 1 smooth foliations on homogeneous
varieties, and managed to give a complete classification in the Kähler case. In a
joint work with Pereira we managed to find a generalization of Ghys’s results for smooth
foliations of arbitrary codimension on homogeneous compact Kähler manifolds.
The first result is a (rough) general classification theorem for such foliations; as an immediate
corollary, we prove that in the case of homogeneous compact rational Kähler manifolds
all smooth foliations are in fact locally trivial fibrations. By a more refined analysis of the
sheaves defining the foliation, we also prove that either there exists a non-trivial invariant
subvariety or the foliation is essentially given by a linear foliation on a torus.

le groupe de Cremona est le groupe des transformations birationnelles du plan projectif complexe dans lui-même. Après avoir rappelé l’action du groupe de Cremona sur l’espace de Picard-Manin, j’utiliserai celle-ci pour décrire les sous-groupes résolubles du groupe de Cremona.

Organisé par Johannes Nagel (Dijon) et Damien Mégy (Nancy). Deux mini-cours de trois heures: “Introduction to Mixed Hodge Modules” par Claude Sabbah et Damien Mégy, et “The role of algebraic tori in the Baily-Borel compactifications: Hodge and group theoretic aspects”, par Chris Peters.

Plus d’informations sur http://math.u-bourgogne.fr/IMB/dubouloz/PS-A-2015/

L’exposé portera sur les connexions logarithmiques sur la sphère de Riemann et leurs déformations isomonodromiques.
On introduira une notion d’algébrisabilté pour le germe de déformation isomonodromique universelle d’une telle connexion.
Le résultat principal est le suivant (avec quelques hypothèses) :
Pour un connexion logarithmique D sur un fibré vectoriel au dessus de CP1,
la déformation isomonodromique universelle de D est algébrisable
si et seulement si
la classe de conjugaison de sa monodromie a une orbite finie sous le Mapping Class Group de la sphère épointée.

Si le temps le permet on présentera un travail en cours (avec D. Moussard) déterminant les orbites finies qui apparaissent dans cet énoncé, pour les connexions de rang deux réductibles.

Dans cet exposé, nous étudierons les familles complètes de courbes lisses dans $mathbb P^3$, c’est-à -dire les sous-variétés propres du schéma de Hilbert des courbes lisses dans $mathbb P^3$. D’une part, nous construirons des exemples non triviaux de telles familles. D’autre part, nous obtiendrons des restrictions sur les familles complètes de courbes lisses polarisées pouvant en induire. Les deux résultats reposent sur l’étude de la forte semistabilité de certains fibrés vectoriels.

Coadjoint orbits of Lie groups are examples of symplectic manifolds endowed
with a Hamiltonian action. We will consider elliptic coadjoint orbits
of a real semi-simple Lie group $G$. If $G$ is a compact Lie group, then any
orbit $O$ is elliptic. In the general setup the orbit $O$ has a unique invariant
complex structure such that the Kirillov-Kostant-Souriau form is Kählerian.
It turns out that the convex hull $hat O$ of $O$ is closely related to the complex
geometry of $O$. More precisely, the faces of $hat O$ are given as convex hulls of
orbits of centralizer subgroups and there is a strong connection to compact
orbits of parabolic subgroups of the complexi ed group $G^{mathbb C}$.