Complex geometry seminar

In this talk, I will present recent joint work with S.~Matsumura, J.~Wang, and X.~Wu on the structure of compact Kähler manifolds whose anti-canonical bundle is nef. We establish a general structure theorem in the Kähler setting, showing that X admits a locally trivial fibration whose fibers are rationally connected and whose base has vanishing first Chern class. Our approach extends the method of Cao–Höring from the projective to the Kähler case, requiring new tools such as a flatness criterion for pseudo-effective sheaves and a refined analysis of direct image sheaves equipped with singular Hermitian metrics. I will also discuss the application, about the generalization of the Beauville–Bogomolov decomposition.

Mori dream spaces are a special kind of varieties introduced by Hu and Keel in 2000 that enjoy very good properties with respect to the minimal model program. In this talk we explore when blowups of P^3 along smooth curves are Mori dream spaces, generalizing an early example of A. Küronya.  This is joint work with Sokratis Zikas.

Geometric methods in computational complexity

A classical uniformization result of Yau shows that any compact Kähler manifold with vanishing
Chern classes is, up to a cover, an Abelian variety. After generalizing this result to the context
of Kawamata log-terminal (or klt, for short) varieties, we prove a complete characterization of quotients
of Abelian varieties (by finite groups acting freely in codimension-one) via vanishing of (orbifold) Chern classes.
The main ingredient of the proof consists of tracing a correspondence (up to a suitable cover) between
semistable reflexive sheaves over klt spaces with vanishing orbifold Chern classes and locally-free sheaves whose
associated bundle is flat.
This is a joint work with Steven Lu.

Un quotient de la boule est une variété complexe compacte ou de volume fini dont le revêtement universel est isomorphe à  la boule unité de $mathbb C^N$. Il est en général difficile de construire des exemples d’applications holomorphes surjectives entre de telles variétés, mis à  part les revêtements finis. Quelques exemples ont été construits et étudiés par Mostow, Toledo et Deraux. Dans cet exposé j’expliquerai comment construire quelques nouveaux exemples. Cela repose sur les travaux de Couwenberg, Heckman and Looijenga.

Je présenterai les principales étapes de mon programme pour étudier la torsion dans la cohomologie des espaces de Lubin-Tate et des variétés de Shimura à  la Harris-Taylor-Kottwitz, via l’étude d’une version entière de la filtration de monodromie-poids du faisceau pervers des cycles évanescents.

Un résultat surprenant de Danilov-Gizatullin dit que la classe d’isomorphie abstraite du complémentaire d’une section ample dans une surface de Hirzebruch ne dépend que de l’auto-intersection de cette section: en particulier elle ne dépend ni de la surface projective ambiante, ni du choix de la section à  auto-intersection fixée. Un tel complémentaire possède la structure topologique naturelle d’un fibré en droites complexes sur la sphère, et le résultat de Danilov-Gizatullin dit de manière équivalente que son type d’isomorphie en tant que variété algébrique affine est uniquement déterminé par le degré de ce fibré en droites sous-jacent. Plus généralement, le complémentaire d’un sous-fibré en hyperplans d’un fibré projectif sur la droite projective est homéomorphe à  un fibré vectoriel complexe sur la sphère et l’on peut formuler la conjecture, a priori très optimiste et ne reposant sur aucune base sérieuse, que sous certaines conditions raisonnables portant sur le sous-fibré (pas exemple, son amplitude), le type d’isomorphie abstrait en tant que variété algébrique d’un tel complémentaire est de nouveau totalement déterminé par le type topologique du fibré vectoriel sous-jacent, soit donc uniquement par son rang et son degré. Nous verrons durant l’exposé que cette “conjecture” s’avère ne pas être aussi fausse que prévue …

On construit certains fibrés aCM stables sur des hypersurfaces cubiques. Pour étudier la géométrie de leurs espaces de modules on utilise une sous-catégorie triangulée de la catégorie dérivée des faisceaux cohérents qui les contient naturellement. Il s’agit d’une collaboration avec Emanuele Macrଠet Paolo Stellari.

Dans un travail mené avec G. Pacienza nous montrons la terminaison d’un log-MMP quelconque pour une variété symplectique irréductible projective. Ce résultat est une généralisation de travaux de Matsushita et Nakamura et utilise un critère de Shokurov. Si le temps le permet nous allons discuter quelques applications possibles.

Je présenterai le groupe des transformations de Cremona du plan et la topologie naturelle qu’on peut mettre sur celui-ci. L’ensemble des applications de degré borné est fermé et la question naturelle qui survient est de déterminer quelles applications de petit degré sont limites de celles de plus haut degré. Je donnerai quelques réponses à  ces question. Travail en commun avec Alberto Calabri.

Soit $D$ un diviseur à  croisements normaux simples dans une variété kählérienne compacte $X$. Dans mon exposé j’expliquerai pourquoi l’existence sur $X-D$ d’une variation de structures de Hodge polarisées avec structure entière force l’existence d’une forme différentielle symétrique logarithmique non triviale, i.e. une section non nulle du faisceau $S^{>0}Omega^1(log D)$.
Le cas compact ($D = emptyset$) était l’un des résultats principaux d’un travail en commun avec Bruno Klingler et Burt Totaro. La preuve dans le cas général dépend fortement de la construction d’un foncteur “cycles proches” global dans une catégorie adéquate.
Comme application immédiate, on obtient de nouvelles restrictions pour les variétés qui supportent une famille non isotriviale de variétés polarisées qui vérifient un théorème de Torelli infinitésimal.

La question suivante est classique en Géométrie complexe depuis fort longtemps : Soit $(X_t)$ , $t$ décrivant un disque $D$ de centre $0$, une famille holomorphe de variétés complexes compactes telle que pour t différent de $0$ la variété $X_t$ soit projective. Alors $X_0$ est-elle biméromorphe à  une variété projective ? Dans le cas o๠l’on suppose $X_0$ kahlérienne,la solution est simple. Sans hypothèse supplémentaire elle est encore ouverte à  ce jour. Dans un article aux Invent. Math. de l’an passé, Dan Popovici résoud cette question dans deux cas intéressants (donc avec des hypothèses supplémentaires assez faibles). Nous expliquerons comment l’utilisation de l’espace des cycles relatifs de codimension 1 de la famille considérée permet de généraliser notablement les résultats présentés dans cet article.