PhD students working group

Cela fait déjà plus de 150 ans que la recherche mathématique se casse les dents sur ce fameux problème appelé “Hypothèse de Riemann”. Portant sur les zéros non triviaux de la fonction Zêta de Riemann, elle est étroitement liée à la répartition des nombres premiers.

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L’approximation des équations aux dérivées partielles est un domaine mathématique lié à de nombreuses autres
sciences. Pour cette raison il est important de tenir compte des contraintes que ces autres domaines
apportent. Après une première partie dans laquelle j’introduirais l’approximation des EDP, je parlerais des
différences finies. Les méthodes de différences finies sont historiquement les premières méthodes a avoir été
développées. Après en avoir énoncé quelques résultats théoriques et présenté quelques schémas classiques, dans
une troisième partie, nous constaterons des limites de ces méthodes et nous proposerons quelques améliorations.

J’introduirai dans cette exposé la méthode des chemins de Littelmann qui permet notamment de
décomposer en irréductible la tensorisation de deux représentations pour une algèbre de Lie simple.
On verra des exemples simples. Si le temps le permet je donnerai des résultats sur les représentations
usuelle de su(n) sur les formes totalement antisymétrique et totalement symétrique.

La notion de racine dans le cas des algèbres de Lie semi-simples est une notion
centrale. Elle est primordiale, par exemple, pour la classification et les
représentations des ces dernières. Le but de cette présentation est de donner un
analogue de ces systèmes dans le cas des superalgèbres de Lie. L’idée sera de
commencer par des rappels concernant la théorie des algèbres de Lie, de redonner par
la suite quelques définitions et propriétés élémentaires des superalgèbres de Lie puis
de présenter la généralisation de la notion de racines pour ces dernières. Si le
temps le permet, on appliquera cela dans un cas concret, à savoir la superalgèbre de
Lie générale linéaire, puis on mettra en évidence l’importance des racines dans la
théorie des représentations des superalgèbres de Lie.