Nancy-Metz number theory seminar

Dans cet exposé, on étudie les courses de nombres premiers entre résidus et non-résidus quadratiques modulo q. Les nombres de Skewes généralisés désignent les premières valeurs pour lesquelles les résidus quadratiques devancent les non-résidus. Je présenterai un travail en collaboration avec A. Bailleul et T. Untrau dans lequel nous réfutons une conjecture de Fiorilli portant sur la taille de ces nombres. De plus, sous l’hypothèse de Riemann généralisée, ainsi qu’une hypothèse d’indépendance linéaire effective, nous établissons des bornes supérieures pour ces nombres en fonction de q.

Montgomery (1973) suggested an approach to study the pair correlation of nontrivial zeros of the Riemann zeta-function, and proved the corresponding asymptotic formula within a limited range assuming the Riemann Hypothesis (RH). The extended behavior remains a conjecture which implies the famous Pair Correlation Conjecture (PCC) for these zeros. In my previous work with Siegfred Alan C. Baluyot, Daniel Alan Goldston, and Caroline L. Turnage-Butterbaugh, we have showed how to remove RH in Montgomery’s pair correlation method and recover known results on the proportion of simple zeros under hypotheses weaker than RH. We have in addition obtained the proportion of zeros lying on the critical line, which we simply call critical zeros for brevity. Getting results on critical zeros is only achieved since we do not assume RH. We also recently noticed that these proportions can be further improved if we take further advantage of the feature that we “may” have zeros off the critical line.
In follow-up work with Daniel Goldston, Junghun Lee and Jordan Schettler, we showed that PCC without RH implies that asymptotically 100% of the zeros are simple and critical, thus RH is asymptotically true. We remark that our method also works with other pair correlation conjectures. In this talk, I would like to briefly introduce these results and our key ideas.

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On s’intéresse à  un modèle de neurones dit «intègre et décharge». Chaque décharge de neurones influence les autres neurones. On arrive à  une équation de type champ moyen avec un terme d’interaction assez singulier. Les questions sont : l’existence d’une solution en temps long, la construction d’un système de particules qui converge vers cette équation, la synchronisation des neurones.

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