PDE and applications seminar | Metz

Dans cet exposé je présenterai un modèle de dynamique des populations piloté par capacité biotique. La capacité biotique $f=rho-m$, qui est essentiellement la différence entre la densité d’espèce $rho(t,x)$ et la quantitié de ressources disponibles $m(x)$, intervient comme un terme de reproduction logistique, mais affecte également la dispersion de l’espèce qui se déplace vers l’environnement le plus favorable possible ($f>0$). Le modèle a été introduit et étudié mathématiquement par [Cosner et Winkler], et consiste en un problème parabolique dégénéré. Dans une série de travaux récents, nous avons montré avec S. Kondratyev et D. Vorotnikov (Univ. Coimbra, Portugal) que le modèle peut s’écrire comme un flot gradient dans l’espace des mesures, muni d’une nouvelle distance de transport optimal non conservatif. Ce point de vue revisité permet d’établir un nouveau résultat de convergence en temps long, dont la preuve est basée sur des techniques d’entropie/dissipation-entropie particulièrement adaptées au cadre variationnel et en lien avec une nouvelle famille d’inégalités fonctionnelles. Si le temps le permet je présenterai une extension au cas vectoriel.

En théorie des champs relativiste, un problème essentiel est de séparer les solutions de l’équation de Klein-Gordon en celles qui propagent avec fréquences positives et celles a fréquences négatives, dans le sens précis d’une condition sur leur front d’onde. Sur des espace-temps asymptotiquement statiques, il existe une construction bien connue (par théorie de diffusion) qui donne une décomposition canonique, mais jusqu’à  présent le problème de vérifier la condition sur le front d’onde, dite “de Hadamard”, restait ouvert. Le but de cet expose seront des démontrer cette conjecture dans le cas à  longue portée en utilisant un mélange de théorie de diffusion et de calcul pseudo-différentiel. Je vais aussi expliquer comment dans ce cadre est-il possible de définir des conditions asymptotiques pour lesquelles l’opérateur de Klein-Gordon devient un opérateur de Fredholm vérifiant des propriétés étonnamment similaires au cas elliptique (travail en collaboration avec Christian Gérard).

Durant ce séminaire nous considérerons une famille d’opérateurs de Schrödinger étant formellement homogènes sous le groupe des dilatations. Une fois mieux définis la majorité de ces opérateurs perdent cette propriété. Nous étudierons alors les propriétés spectrales de ces opérateurs, qui ne sont généralement pas auto-adjoints et proposerons certaines formules pour la théorie de la diffusion. Cette étude est intimement liée aux fonctions de Bessel, et certaines de leurs relations peuvent être réinterprétées dans le cadre de l’étude de ces opérateurs.

Résumé

We investigate the existence of solutions to a nonlinear elliptic problem involving the critical Sobolev exponent for a Polyharmomic operator on a Riemannian manifold   M. We first show that the best constant of the Sobolev embedding on a manifold can be chosen as close as one wants to the Euclidean one, and as a consequence derive the existence of minimizers when the energy functional goes below a quantified threshold. Next, higher energy solutions are obtained by Coron’s topological method, provided that the minimizing solution does not exist and the manifold satisfies a certain topological assumption. To perform the topological argument, we obtain a decomposition of Palais-Smale sequences as a sum of bubbles and adapt Lions’s concentration-compactness lemma.

In this talk we discuss a viscoelastic equation with a non increasing function. We first give an account of the existing results and then establish a new general decay rate for the solution energy of the problem under a more general condition on the relaxation function. This work answers some questions raised in the literature and generalizes and improves earlier results.

On éudie la localisation et l’existence des valeurs propres (v. p.) du générateur d’un semi-groupe de contraction associé aux problèmes à  bord dissipatifs pour l’équation des ondes et le système de Maxwell. Le spectre du générateur dans le demi-plan gauche est formé par des v. p. isolées de multiplicité finie et les solutions associées ont une énergie globale exponentiellement décroissante. La localisation des v. p. est importante pour les applications et les problèmes inverses de diffusion. On prouve que les v. p. sont localisées dans des voisinages paraboliques de l’axe réel ou de l’axe imaginaire. Pour des obstacles strictement convexes on obtient des résultats plus précis. Finalement pour la balle on établit l’existence d’un nombre infini de v. p. réelles négatives.

Résumé