Probabilities and Statistic seminar

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We study the optimal transport problem on the real line with the cost given by the distance, a setting in which solutions (called optimal transport plans) are typically non-unique. The first part of the talk presents a decomposition theorem: every optimal transport plan admits a unique decomposition into components, each acting on a specific region where the mass moves forward, moves backward, or remains stationary. Building on this structure, the second part investigates the behaviour of an entropically regularized version of the problem as the regularization parameter tends to zero. A natural candidate for the limit is constructed from our decomposition together with a Strassen-type theorem for a strengthened stochastic order. When the source and target distributions are sufficiently singular, the entropic minimizers converge to this plan. In general, all limit points satisfy a structural property known as weak multiplicativity.

Single-cell data yield profound insight into the complex nature of molecular feature distributions. However, they also pose statistical analysis challenges. A key challenge is the intricate geometry of these distributions, which requires non-linear analysis methods. We propose a kernel-based framework for comparing conditions in single-cell experiments that allows non-linear comparisons of different cell populations. In this talk, I will explain how embedding the data in an infinite-dimensional reproducing kernel Hilbert space (RKHS) facilitates non-linear operations on the data via linear operations in the feature space. I will present a linear model in the RKHS and introduce a truncated kernel Hotelling-Lawley statistic with an associated kernel trick. This statistic has been shown to have an asymptotic chi-squared distribution, which allows to quantify the significance of the test results. The functionality and flexibility of the proposed approach will be demonstrated on scRNA-Seq data obtained in the context of cerebral arteries profiling. The goal of this analysis is to gain insight into the appearance of intracranial aneurysms.

Exposé à Metz. Titre et résumé à venir.

Exposé à Metz. Titre et résumé à venir.

Ces travaux ont été effectués en collaboration avec Irène Marcovici.

Un automate cellulaire probabiliste (ACP) de mémoire 2 est un algorithme stochastique qui transforme 2 mots bi-infinis $a = eta_0 = (a_i)_{i in Z}$ et $b = eta_1 = (b_i)_{i in Z}$ en un troisième $c = eta_3 = (c_i)_{i in Z}$ de tel sorte que la loi de la lettre $c_i$ ne dépend que des lettres $(b_i,a_{i+1},b_{i+1})$. Les lettres $c_i$ sont choisies de manière synchrone et indépendante. Après avoir obtenu le mot $c$, on peut ré-appliquer l’ACP en prenant en entrée les mots $(b,c)$ et ainsi de suite. On obtient alors une suite de mots $(eta_t)_{t > 0}$ dont les lettres $(eta_t(i))$ forme ce que l’on appelle le diagramme espace-temps.

Ces ACP de mémoire 2 ont été initialement définis pour étudier le modèle à  8 sommets et nous verrons qu’ils sont également liés à  d’autres modèles de la physique statistique comme, par exemple, un nouveau modèle de TASEP synchrone ou le modèle d’Eden dans le demi-plan sur le réseau triangulaire.

Dans cet exposé, nous étudierons les lois invariantes de ces ACP, l’ergodicité de ces derniers, ainsi que les propriétés d’invariance de leur diagramme espace-temps. Ce sont des problèmes insolubles dans le cas général (y compris pour les ACP à  mémoire 1) et pour cela nous verrons que nous devons restreindre l’étude à  des cas o๠la loi invariante est de type mesure produit ou de type Markov.

S’il nous reste un peu de temps à  la fin, nous verrons comme les méthodes employées dans cet exposé permettent de déduire rapidement des propriétés sur un modèle de TASEP synchrone
généralisé.

We study the simultaneous domain selection problem for varying coefficient models as a functional regression model for longitudinal data with many covariates. The domain selection problem in functional regression mostly appears under the functional linear regression with scalar response but there is no direct correspondence to functional response models with many covariates. We reformulate the problem as nonparametric function estimation under the notation of “functional sparsity”. Sparsity is the recurrent theme that encapsulates interpretability in the face of regression with multiple inputs, and the problem of sparse estimation is well understood in the parametric setting as variable selection. For nonparametric models, interpretability not only concerns the number of covariates involved but also the {em functional form} of the estimates, and so the sparsity consideration is much more complex. To distinguish the types of sparsity in nonparametric models, we call the former “global sparsity” and the latter “local sparsity”, which constitute functional sparsity. Most existing methods focus on directly extending the framework of parametric sparsity for linear models to nonparametric function estimation to address one or the other, but not both. We develop a penalized estimation procedure that simultaneously addresses both types of sparsity in a unified framework. We establish asymptotic properties of estimation consistency and sparsistency of the proposed method. Our method is illustrated in simulation study and real data analysis, and is shown to outperform the existing methods in identifying both local sparsity and global sparsity.

[this is a joint work with Catherine Y. Tu and Haonan Wang from Colorado State University, U.S.A.]

Nous considérons, sur le plan, la DSF (Directed Spanning Forest) qui est une forêt dirigée introduite par Baccelli et Bordenave (2007). Soient un processus de Poisson homogène dans le plan et une direction privilégiée (par exemple -e_y). Nous définissons l’ancêtre de chaque atome du processus de Poisson comme étant l’atome le plus proche (pour la distance euclidienne) et d’ordonnée supérieure. Le graphe résultant est la DSF : il s’agit d’une forêt, et même presque sà»rement d’un arbre. Sous de bonnes renormalisations, nous montrons que cette forêt converge en loi vers la toile Brownienne (BW, comme Brownian Web). Dans le cas de la DSF, la difficulté majeure est que la construction, pourtant simple et naturelle, crée des dépendances géométriques très complexes : au fur et à  mesure de la construction du graphe, on accumule une information sur la vacuité de certaines régions (aléatoires) du plan. Les critères de convergence existant dans la littérature s’appuient sur des estimées obtenues en général par la construction de martingales ou chaînes de Markov, constructions qui sont impossibles ici. L’obtention de ces estimées clé s’appuie sur des idées de renouvellement fondées sur la géométrie du problème.

Ceci est un travail en commun avec D. Coupier, K. Saha et A. Sarkar.

The cosmic web is a highly complex geometrical pattern, with galaxy clusters at the intersection of filaments and filaments at the intersection of walls. Using observational data, we can visually recognize the main components of the cosmic web: voids, filaments and (super)clusters. However, to classify the cosmic web using mathematical methods is much more complicated task, which also involves the analysis of observational selection effects. In my talk I will give a brief overview about the observed large-scale structure together with the main selection effects that should be taken into account while analyzing the data.

La théorie statistique de l’apprentissage porte sur trois problèmes d’inférence empirique : la discrimination, la régression et l’estimation de la fonction de densité. Cette présentation se concentre sur la discrimination. Nous exposons les garanties disponibles sur les performances en généralisation des systèmes discriminants (risques garantis), en privilégiant le cas o๠ceux-ci s’appuient sur le concept de marge. L’intervalle de confiance de ces risques garantis dépend de trois paramètres principaux : la taille m de l’échantillon, le nombre C de catégories et la valeur gamma du paramètre de marge. Nous caractérisons cette dépendance en fonction du choix de la fonction de perte.

Une application déterministe $theta$ de $R^2$ dans lui-même déforme le plan de façon bijective et régulière. Avec un champ aléatoire $X$ réel et défini sur $R^2$, régulier, stationnaire et isotrope, elle entre dans la construction d’un champ déformé défini comme la composée de $X$ avec $theta$. Un champ déformé est en général anisotrope, cependant certaines applications $theta$, dont on propose une caractérisation explicite, préservent l’isotropie. En supposant en outre que $X$ est gaussien, on définit une forme faible d’isotropie d’un champ déformé par une condition d’invariance de la caractéristique d’Euler moyenne de certains de ses ensembles d’excursion. On prouve que les champs déformés satisfaisant cette définition sont en réalité isotropes en loi. Dans une dernière partie de l’exposé, en supposant connue la caractéristique d’Euler moyenne de certains ensembles d’excursion d’un champ déformé, on prouve qu’il est possible d’identifier la déformation $theta$ associée.

On présente la solution fondamentale d’une équation aux dérivées partielles à  coefficient constants par morceaux. De telles équations apparaissent, entre autres, lors de la modélisation de la diffusion de particules dans des milieux hétérogènes. Partant d’une représentation probabiliste de la solution, on explicite un développement asymptotique en temps petits, utilisable dans les applications concrètes.