Séminaire Probabilités et Statistique

Pour un graphe connexe donné muni de poids distincts sur les arêtes, il existe un unique arbre couvrant dont la somme des poids des arêtes est minimale: on l’appelle l’arbre couvrant minimal. On s’intéresse aux propriétés asymptotiques, pour n grand, de l’arbre couvrant minimal défini à partir du graphe complet à n sommets muni de poids i.i.d. sur les arêtes.
Un résultat de convergence locale nous décrit la structure de cet objet autour d’un point typique à l’aide d’un arbre discret infini. Dans un travail avec Omer Angel, nous montrons que cet arbre infini admet une limite d’échelle: lorsqu’on fait tendre les longueurs des arêtes de cet arbre vers 0, on voit apparaître un arbre continu, dont on peut donner une construction explicite.
Je présenterai les objets mentionnés et expliquerai les grandes lignes de la preuve de la convergence du discret vers le continu.

This paper delves into a challenging  problem of nonparametric estimation for the interaction function within diffusion-type particle system models. We introduce two estimation methods based upon an empirical risk minimization. Our study encompasses an analysis of the stochastic and approximation errors associated with both procedures, along with an examination of certain minimax lower bounds. In particular, for the first method we show that there is a natural metric under which the corresponding estimation error of the interaction function converges to zero with parametric rate which is minimax optimal. This result is rather surprising given the complexity of the underlying estimation problem and rather large class of interaction functions for which the above parametric rate holds.

L’apprentissage par transfert (transfert learning) vise à réutiliser les connaissances d’un ensemble de données source vers un ensemble de données cible similaire. Alors que plusieurs études abordent le problème de quoi ou comment transférer, la question très importante de quand le faire reste principalement sans réponse, surtout d’un point de vue théorique pour les problèmes de régression.
Dans l’exposé je présenterai le cadre général de l’apprentissage par transfert. Puis, je détaillerai un nouveau cadre théorique pour le problème du transfert de paramètres pour le modèle linéaire… Il est démontré que la qualité du transfert pour un nouveau vecteur d’entrée dépend de sa représentation dans une base propre impliquant les paramètres du problème. De plus, un test statistique est construit pour prédire si un modèle affiné (fine tuned) a un risque quadratique de prédiction inférieur au modèle cible de base pour un échantillon non observé. L’efficacité du test est illustrée sur des données synthétiques ainsi que des données réelles de consommation d’électricité.

David Obst, Badih Ghattas, Sandra Claudel, Jairo Cugliari, Yannig Goude, Georges Oppenheim,
Improved linear regression prediction by transfer learning, CSDA (2022)

Dans cet exposé, on s’intéresse à un certain type de champ aléatoire: le champ de Brown-Resnick. La loi de ce dernier est décrite par deux paramètres: l’un d’échelle, l’autre de Hurst. On suppose que le champ est observé dans une fenêtre fixée en un nombre fini de sites. Les sites sont donnés par la réalisation d’un processus ponctuel de Poisson. Estimer les paramètres par maximum de vraisemblance est en pratique impossible car les lois fini-dimensionnelles ne peuvent être calculées de façon efficace. Pour y remédier, nous considérons les estimateurs par maximum de vraisemblance composite en retenant comme pairs les pairs de points qui sont voisins dans la triangulation de Delaunay sous-jacent et comme triplets les triplets qui sont sommets d’un triangle de Delaunay. Les résultats sont des théorèmes limites sur ces estimateurs, lorsque l’intensité du processus de Poison tend vers l’infini. Travail joint avec Christian Y. Robert.

La transition de phase associée à un modèle de percolation peut être quantifiée à l’aide d’un certain nombre de constantes, appelées exposants critiques, qui décrivent la vitesse à laquelle certaines quantités décroissent au voisinage du point critique. J’expliquerai comment calculer certains de ces exposants critiques quand le modèle de percolation est le champ libre gaussien sur le système de câbles en dimension trois ou quatre.

Cylindrical distributions are joint distributions of a circular variable and a linear variable, where the circular variable affects the linear variable. In this paper, we consider a class of cylindrical distributions based on the normal distribution, which have normal and angular conditional and marginal distributions. The distribution based on the normal distribution has the advantages of easy random number generation and simple Fisher information matrix. We also consider a regression model using the cylindrical distribution. Examples of estimation will be given for real data, and a new methodology of data analysis using the cylinder model will be given. Furthermore, we also discuss some potential extensions of the cylindrical distribution.

The systems of forward-backward stochastic differential equations driven by Brownian motion (FBSDEs for short) help us to model diffusion processes related to phenomena that involve environment perturbations. The drift coefficients constitute the descriptive part of a non-random ambient, while the Wiener processes permit us to describe the random perturbations involved into the dynamics through the diffusion terms. The systems of FBSDEs motion are linked to the nonlinear partial differential equations (PDEs) through the Feyman-Kac formulae. Therefore, the deterministic solutions can be obtained by probabilistic representations involving the stochastic processes that solve the FBSDEs.

During this talk, we deal with the numerical simulation of systems of stochastic particles ruled by FBSDEs associated with nonlinear PDEs appearing in fluid dynamics. To make this, we discretize locally in time the stochastic equations, and then we consider integration schemes of Euler-Maruyama type, together with the optimal quantization of the involved Wiener increments as an alternative to the Monte-Carlo simulation. Then we approximate the related conditional expectations over each temporal-spatial node of a computational domain with uniform discretization steps in time and space. Numerical results are presented to the case of analytic spatially-periodic exact solutions of the incompressible Navier-Stokes equations, in particular, a two-dimensional Taylor-Green vortex and three-dimensional Beltrami flows, for example an Arnold-Beltrami-Childress flow. The simulation algorithms follow from a completely probabilistic approach.

La compréhension de l’auto-organisation d’un système, c’est-à-dire sa capacité à faire émerger des comportements collectifs sans intervention extérieure, est à la base du développement de nombreux domaines scientifiques, aussi bien en physique, en informatique, en mathématiques, en biologie ou en sociologie. Au sein de ce domaine se trouve l’étude des modèles de consensus, permettant de décrire comment des agents s’échangent de l’information afin d’aboutir à une décision commune. Dans cet exposé, nous aborderons un modèle de consensus largement étudié dans la littérature : le modèle de Cucker-Smale. Ce dernier décrit des individus qui se déplacent dans l’espace et qui s’alignent les uns sur les autres. Il suppose que la force avec laquelle les individus s’alignent entre eux dépend à la fois de la distance qui les sépare et d’un paramètres A(i,j) qui décrit intrinsèquement comment un individu i s’aligne sur un individu j. L’une des questions principales est la détermination de conditions qui assurent que les individus tendent tous à se déplacer dans la même direction à la même vitesse, appelé phénomène de flocking dans ce contexte. En exploitant la dualité entre les équations de Cucker-Smale et les équations de Kolomogorov, nous prouvons que le flocking est équivalent à la convergence en variation total d’un certain processus de saut markovien inhomogène en temps.  Nous prouvons ensuite cette convergence en utilisant des techniques de type Doeblin, permettant de dériver de nouvelles conditions de flocking plus fines que celles connues pour ce modèle. Enfin, nous traiterons la question de l’apprentissage du paramètre A(i,j) à partir de données de déplacement d’animaux, permettant d’obtenir des informations sur la manière dont ceux-ci se comportent socialement les uns avec les autres.

Many applications in spatial and spatio-temporal statistics require data to be modeled by Gaussian processes on non-Euclidean domains, or with non-stationary properties. Using such models generally comes at the price of a drastic increase in operational costs (computational and storage-wise), rendering them hard to apply to large datasets. In this talk, we propose a solution to this problem, which relies on the definition of a class of random fields on Riemannian manifolds. These fields extend ongoing work that has been done to leverage a characterization of the random fields classically used in Geostatistics as solutions of stochastic partial differential equations. The discretization of these generalized random fields, undertaken using a finite element approach, then provides an explicit characterization that is leveraged to solve the scalability problem. Indeed, matrix-free algorithms, in the sense that they do not require to build and store any covariance (or precision) matrix, are derived to tackle for instance the simulation of large Gaussian fields with given covariance properties, even in the non-stationary setting or on surfaces.

La littérature consacrée au mouvement brownien réfléchi dans un cône bidimensionnel est la plupart du temps consacrée à l’étude de sa distribution stationnaire dans le cas récurrent. Dans cet exposé, nous intéresserons en revanche au cas transient pour étudier les fonctions de Green de ce processus et leurs asymptotiques. Ceci nous amènera à considérer la frontière de Martin associée et les fonctions harmoniques satisfaisant des conditions de Neumann obliques sur les bords du cône. Pour certains modèles, nous illustrerons cela en étudiant la probabilité d’évasion du processus le long d’un axe et sa probabilité d’absorption au sommet du cône.

Pour établir nos résultats, nous utilisons des méthodes analytiques historiquement développées pour étudier les marches aléatoires dans le quadrant. Nous établissons des équations fonctionnelles satisfaites par les transformées de Laplace des fonctions de Green. Grâce à la théorie des problèmes frontières (de Riemann et Carleman), il est possible de déterminer des formules explicites pour ces transformées de Laplace impliquant des fonctions hypergéométriques. La méthode du point col et des lemmes de transfert taubériens permettent d’obtenir des résultats asymptotiques et d’établir la frontière de Martin.