Séminaire Probabilités et Statistique

Les automates cellulaires forment une classe riche de systèmes dynamiques sur l’ensemble des suites symboliques. Ils servent notamment de modèles simplifiés en informatique, pour le calcul parallèle, et en physique statistique, pour étudier l’évolution de systèmes de particules. Un problème classique consiste alors à étudier les environnements laissés stable par l’évolution d’un ou plusieurs automates et en particuliers leurs mesures invariantes ou les distributions asymptotiques des itérés des automates sur une configuration aléatoire. Nous présenterons dans cet exposé plusieurs restrictions sur ces automates en fonction de la complexité de l’environnement.

This talk deals with clustering when several latent class variables are considered (multiple partition clustering). Indeed, assuming that all heterogeneity in the data can be explained by one single variable is very strong, and it can be useful to consider that several blocks (or linear combinations) of variables can provide different partitions of individuals. This can reveal new lines of analysis in the data. In this framework, we present two approaches. The first one assumes the existence of several groups of variables, each leading to a different partition of the individuals [1]. It makes it possible to classify the variables into blocks, each producing a specific grouping of individuals. The model assumes the independence between blocks of variables, and in each block the independence of the variables given the cluster. An efficient approach is proposed to search for the blocks of variables as well as performing the estimation of the different partitions of the individuals. The second one assumes the existence of several classifying projections in the data [2]. It makes it possible to obtain different classifying projections and the associated partitions. The model assumes that the data are obtained based on linear combinations of classifying and non classifying variables, where each classifying variable is assumed to follow a specific mixture distribution. The parameters of the models are estimated through a generalized EM algorithm. The behavior of these models will be illustrated in simulated and real data. We will discuss how using such kind of models can give new insight from the data analysis point of view, and can be considered for further investigation. References: [1] Marbac, M. and Vandewalle, V. (2019). “A tractable multi-partitions clustering”. In: Computational Statistics & Data Analysis 132, pp. 167–179. [2] Vandewalle, V. (2020). “Multi-Partitions Subspace Clustering”. In: Mathematics 8.4, p. 597.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons à l’estimation fonctionnelle dans un cadre non paramétrique pour des flux de données. Nous donnerons une définition et une modélisation statistique de ce type de données. Nous présenterons brièvement quelques questions relatives à l’estimation non paramétrique, lorsque l’échantillon d’apprentissage est de nature temporelle, spatiale ou spatio-temporelle et se présente sous forme de flux de données. Nous considérerons le cas d’un modèle statistique dans lequel la variable aléatoire générique est multivariée, circulaire ou de nature fonctionnelle. Des modèles classiques seront revisités dans le contexte de flux de données, et leurs propriétés asymptotiques étudiées, notamment lorsque le processus générateur des données est stationnaire ou localement stationnaire.

Dans un article publié en 2018, Le Doussal Majumdar et Schehr ont introduit une famille de distributions, indexées par un entier positif n, qui généralisent la célèbre distribution de Tracy-Widom (GUE) décrivant la loi limite de la plus grande valeur propre d’une matrice aléatoire. Plus récemment, les mêmes distributions sont apparues aussi dans la théorie des partitions aléatoires. Après une bref introduction concernant leur applications, j’illustrerai les résultats que j’ai obtenu en collaboration avec Tom Claeys et Manuela Girotti sur les grandes déviations associées à  ces distributions, et leur liens avec les équations de Painlevé.

Dans cet exposé, nous étudions l’impact d’une politique de surveillance proposée à  un agent exploitant une ressource naturelle renouvelable. Nous adoptons un modèle principal/agent en temps continu dans lequel le principal conçoit un contrat, c’est-à -dire une politique de taxes/compensations, conduisant l’agent à  un niveau d’exploitation donné. Pour un contrat donné, nous décrivons d’abord l’effort optimal de l’agent en utilisant la théorie des EDSR. Sous des hypothèses de régularité sur les coefficients, nous exprimons ensuite le contrat optimal comme la solution d’une équation d’Hamilton Jacobi Bellman. Nous étendons ensuite le résultat à  des coefficients non réguliers en fournissant des stratégies epsilon optimales à  l’aide d’un résultat d’approximation pour la fonction de valeur du régulateur. Travaux conjoints avec Idris Kharroubi (Sorbonne Université) et Thomas Lim (ENSIIE).

Many mathematical models involve input parameters, which are not precisely known. Global sensitivity analysis aims to identify the parameters whose uncertainty has the largest impact on the variability of a quantity of interest. One of the statistical tools used to quantify the influence of each input variable on the quantity of interest are the Sobol’ sensitivity indices. In this paper, we consider stochastic models described by stochastic differential equations (SDE). We focus the study on mean quantities, defined as the expectation with respect to the Wiener measure of a quantity of interest related to the solution of the SDE itself. Our approach is based on a Feynman-Kac representation of the quantity of interest, from which we get a parametrized partial differential equation (PDE) representation of our initial problem. We then handle the uncertainty on the parametrized PDE using polynomial chaos expansion and a stochastic Galerkin projection.

Talk will be in French

Ce travail est motivé par l’existence d’asymétrie lors de la division cellulaire. Après avoir examiné cette asymétrie sur des données expérimentales, nous introduisons un modèle probabiliste décrivant les divisions successives de cellules et prenant en compte deux types d’asymétrie: une asymétrie physiologique décrivant le fait que deux cellules soeurs peuvent grandir à  des vitesses différentes, et une asymétrie morphologique décrivant le fait que les tailles des deux cellules soeurs à  la division sont différentes. Dans un premier temps, nous expliciterons le caractère Malthusien de la dynamique, au sens o๠la taille de la population croit exponentiellement tandis que la distribution des tailles converge vers une distribution stable. Dans un second temps, nous étudierons les fluctuation du paramètre Malthusien en fonction des différents paramètres du modèle. Nous montrerons que sous certaines hypothèses, l’asymétrie est optimale au sens Darwinien. Ce travail est toujours en cours et est en collaboration avec Bertrand Cloez (INRAE Montpellier) et Tristan Roget (Univ. Montpellier).

Si estimer la médiane (quantile de niveau 0.5) ou le quartile (quantile de niveau 0.25 ou 0.75) d’une variable aléatoire Y paraît évident lorsque l’on dispose d’un échantillon de taille n, qu’en est-il si le niveau de quantile que l’on cherche à  estimer dépasse 1-1/n ? Dans ce cas, l’usage de la classique statistique d’ordre renvoie systématiquement le maximum de l’échantillon, et mène alors à  une estimation non-consistante du quantile désiré. Grâce à  la théorie des valeurs extrêmes, on trouve dans la littérature des méthodes d’extrapolation pour estimer de tels quantiles. La particularité de ce travail est que la variable d’intérêt Y est impactée par un vecteur de covariables X. L’enjeu est alors d’estimer des quantiles extrêmes de la loi conditionnelle de Y sachant X=x. Pour cela, on propose d’abord une approche de régression purement non-paramétrique, en proposant des estimateurs de quantile et d’expectile (une alternative au quantile que l’on introduira) extrêmes, et en étudiant leurs propriétés asymptotiques. La vitesse de convergence de ces estimateurs se dégradant assez fortement lorsque la taille de la covariable X augmente, on proposera alors quelques modèles sur X et Y permettant de contourner le fléau de la dimension. Quelques applications en assurance ou catastrophe naturelle seront proposées.

Si estimer la médiane (quantile de niveau 0.5) ou le quartile (quantile de niveau 0.25 ou 0.75) d’une variable aléatoire Y paraît évident lorsque l’on dispose d’un échantillon de taille n, qu’en est-il si le niveau de quantile que l’on cherche à  estimer dépasse 1-1/n ? Dans ce cas, l’usage de la classique statistique d’ordre renvoie systématiquement le maximum de l’échantillon, et mène alors à  une estimation non-consistante du quantile désiré. Grâce à  la théorie des valeurs extrêmes, on trouve dans la littérature des méthodes d’extrapolation pour estimer de tels quantiles. La particularité de ce travail est que la variable d’intérêt Y est impactée par un vecteur de covariables X. L’enjeu est alors d’estimer des quantiles extrêmes de la loi conditionnelle de Y sachant X=x. Pour cela, on propose d’abord une approche de régression purement non-paramétrique, en proposant des estimateurs de quantile et d’expectile (une alternative au quantile que l’on introduira) extrêmes, et en étudiant leurs propriétés asymptotiques. La vitesse de convergence de ces estimateurs se dégradant assez fortement lorsque la taille de la covariable X augmente, on proposera alors quelques modèles sur X et Y permettant de contourner le fléau de la dimension. Quelques applications en assurance ou catastrophe naturelle seront proposées.

Le problème du transport optimal de Monge, sous sa forme « Kantorovich », se formule particulièrement bien en termes probabilistes puisqu’il consiste à  minimiser l’espérance de la distance (ou d’une autre fonction) de deux variables aléatoires dont les marges, les fameux « déblais » et « remblais », sont des données du problème. En somme il s’agit de trouver un couplage (un transport, une loi jointe) optimal(e). Je parlerai de certains de mes travaux sur la variante « martingale » du problème et des couplages spécifiques (dernièrement d’une infinité indénombrable de lois) qui en ont émergé. Des liens avec le problème de plongement de Skorokhod et certaines représentations de Choquet seront évoqués. Travaux en collaboration avec Mathias Beiglböck, et plus récemment avec Martin Huesmann et Martin Brà¼ckerhoff.