Séminaire Probabilités et Statistique

Le problème du transport optimal de Monge, sous sa forme « Kantorovich », se formule particulièrement bien en termes probabilistes puisqu’il consiste à  minimiser l’espérance de la distance (ou d’une autre fonction) de deux variables aléatoires dont les marges, les fameux « déblais » et « remblais », sont des données du problème. En somme il s’agit de trouver un couplage (un transport, une loi jointe) optimal(e). Je parlerai de certains de mes travaux sur la variante « martingale » du problème et des couplages spécifiques (dernièrement d’une infinité indénombrable de lois) qui en ont émergé. Des liens avec le problème de plongement de Skorokhod et certaines représentations de Choquet seront évoqués. Travaux en collaboration avec Mathias Beiglböck, et plus récemment avec Martin Huesmann et Martin Brà¼ckerhoff.

Les diffusions (famille de solutions d’équations différentielles stochastiques) jouent un rôle primordial en modélisation stochastique avec de nombreux champs d’application. Il est donc essentiel de pouvoir simuler précisément les trajectoires de ces processus et toute variable aléatoire qui y serait liée. Dans cette communication, nous nous intéresserons en particulier au premier instant de sortie d’un intervalle donné. Nous considérons donc (Xt) la solution de dXt = μ(Xt)dt + dBt, X0 ∈ ]a,b[, t≥0, o๠(Bt) est un mouvement brownien et l’objectif se résume à  la simulation numérique de Ï„_ab = inf{t≥0: Xt ∉ ]a,b[}. Cette variable aléatoire dépend de la trajectoire du processus et non simplement d’une marginale à  un temps fixé, ce qui rend plus compliquée sa simulation numérique. Une première approche consiste à  introduire des schémas numériques basés sur la discrétisation temporelle. Ces schemas permettent d’obtenir un squelette de la diffusion et d’en déduire une approximation du temps de sortie. Une autre façon d’appréhender le problème de simulation est d’utiliser une méthode de rejet pour simuler directement et de façon exacte le temps de sortie. C’est cette méthode que je souhaite vous présenter. Une première étude sur la simulation exacte notamment des marginales de diffusion fut introduite par Beskos et Roberts puis complétée par différents travaux par la suite. En ce qui concerne les temps d’arrêt, Cristina Zucca et moi-même avons étudié dans un premier temps les premiers instants de passage des diffusions avant de nous intéresser aux temps de sortie dont la complexité (au niveau des algorithmes) est bien supérieure. Références : https://dev-iecl.univ-lorraine.fr/ProbaStat/covid/downloads/2020-11-26_Samuel_Herrmann_abstract.pdf

On considère des systèmes multiéchelles d’Equations Différentielles Stochastiques: quand un paramètre epsilon tend vers 0, la composante lente converge soit vers la solution d’une équation différentielle ordinaire (principe de moyennisation), soit vers la solution d’une équation différentielle stochastique (approximation diffusion). L’objectif d’un schéma préservant l’aymptotique est d’être consistent pour tout epsilon, et d’admettre un schéma limite quand epsilon tend vers 0, qui soit consistent avec l’équation limite au niveau continu.

On verra que pour les modèles EDS la consistance du schéma limite avec l’équation limite n’est pas évidente: par exemple, le schéma limite peut être naturellement associé à  une interprétation Itô du bruit, alors que l’équation limite est associée à  l’interprétation Stratonovich. On décrira des exemples et contre-exemples de schémas préservant l’asymptotique.

Enfin, on montrera (dans le régime moyennisation) une estimation d’erreur uniforme par rapport à  epsilon, en fonction du pas de temps: le schéma est uniformément précis.

Il s’agit d’un travail en collaboration avec Shmuel Rakotonirina-Ricquebourg (Lyon 1).

Le but de cet exposé est de présenter la théorie des graphes de dépendance et une extension pondérée que j’ai récemment introduite. Ces théories donne des critères de normalité asymptotique pour des sommes de variables aléatoires faiblement dépendantes. Elle s’applique en particulier aux nombres de sous-structures de taille fixée dans des objets combinatoires aléatoires ou des modèles de physique statistique. L’exposé sera illustré par des exemples de compte de sous-mots dans des mots aléatoires et des applications à  un système de particule (SSEP, symmetric simple exclusion process) et au modèle d’Ising.

Le temps de mélange d’une marche aléatoire sur un graphe est étroitement lié à  l’existence de « goulots d’étranglement » dans le graphe : intuitivement, plus il est difficile pour la marche de s’échapper de certains sous-ensembles, plus la marche met du temps à  mélanger. Plusieurs résultats montrent que, sur des graphes aléatoires qui sont presque sà»rement des expanseurs et donc n’ont typiquement pas de goulots d’étranglement (par exemple, sur des graphes réguliers uniformes), la marche aléatoire mélange non seulement vite mais de façon très abrupte (on dit qu’elle présente le phénomène de cutoff). Dans cet exposé, nous verrons que l’on peut aussi obtenir des résultats similaires sur des graphes qui ne sont typiquement pas des expanseurs. Nous considérerons des graphes aléatoires munis d’une structure à  deux communautés et montrerons qu’il existe un seuil pour la fraction d’arêtes inter-blocs autour duquel la marche bascule d’un régime de mélange rapide avec cutoff à  un régime de mélange lent sans cutoff.

On considère un système de N neurones, dont le potentiel de membrane évolue selon une dynamique de type interaction champ moyen. Plus précisément, pour chaque neurone, ce potentiel décroît à  taux constant, et d’autre part est mis à  zéro lorsque le neurone se décharge (émet un spike), ce qui entraîne également une augmentation du potentiel de tous les autres neurones. Les spike surviennent à  des temps aléatoires, à  un taux lamba(u) qui dépend du potentiel de membrane u. Quand lambda(u) est nul en 0 et dérivable alors, quelque soit N, le système s’arrête presque sà»rement en temps fini, c’est-à -dire qu’il n’y aura qu’un nombre fini de spike, suivi d’une décroissance déterministe du système vers 0. On verra que, sous certaine condition, le système est néanmoins métastable, au sens o๠les points suivants sont satisfaits : 1) le système non-linéaire limite (N->infini) converge vers un unique équilibre non nul ; 2) le temps d’extinction d’un système fini de N neurones est exponentiellement grand en fonction de N ; 3) le potentiel moyen du système s’approche rapidement d’une valeur positive constante, et les temps de sortie de voisinages de cette valeur convergent (quand N->infini) vers la loi exponentielle (caractère sans mémoire, imprévisible de ces déviations du comportement limite). Les démonstrations reposent sur des méthodes de couplage.

Dans cet exposé, nous intéressons à  des modèles simples de croissance de population. Chaque individu possède une durée de vie aléatoire, indépendante des durées de vie des autres individus, et dont la loi dépend uniquement de la date de naissance de l’individu. A sa mort ou durant son vivant mais de manière Poissonienne, chaque individu donne naissance à  de nouveaux individus. Pour ce modèle, nous étudierons ces processus avec deux outils différents : le processus de contour de l’arbre et la théorie des semi-groupes. La première approche permettra d’avoir la loi du nombre d’individus, divers résultats de conditionnement (comportement quasi-stationnaire, loi de l’arbre conditionné à  l’extinction ou la non-extinction etc.) ou des limites d’échelles. La deuxième approche permet de montrer une croissance exponentielle pour la taille de la population ainsi que la convergence du profil des âges. Nous finirons l’exposé avec quelques perspectives en statistiques.

Un processus d’Ornstein-Uhlenbeck avec seuil est un processus d’autoregression à  temps continu. Il suit une dynamique d’Ornstein-Uhnlenbeck au dessus ou dessous d’un seuil fixé, pourtant à  ce seuil les coefficients peuvent être discontinus. Nous considérons l’estimation par (quasi)-maximum de vraisemblance des paramètres de dérive, à  partir d’observations à  temps continu ou discret. Dans le cas ergodique, nous montrons consistance et vitesse de convergence en temps long et haute fréquence pour ces estimateurs. En se basant sur ces résultats, nous développons un test heuristique pour la présence d’un seuil dans la dynamique et nous concluons avec une application à  short term US interest rates.
Ceci est un travail avec Paolo Pigato.

Cet exposé présentera une petite zoologie de chaînes de Markov à 
mémoire variable, avec des conditions d’existence et unicité de mesure
invariante. Il sera ensuite question de marches aléatoires
persistantes, construites à  partir de chaînes de Markov à  mémoire non
bornée, o๠les longueurs de sauts de la marche ne sont pas forcément
intégrables. Un critère de récurrence/transience s’exprimant en
fonction des paramètres du modèle sera énoncé. Suivront plusieurs
exemples illustrant le caractère instable du type de la marche
lorsqu’on perturbe légèrement les paramètres. Les travaux décrits dans
cet exposé sont le fruit de plusieurs collaboration avec B. Chauvin, F.
Paccaut et N. Pouyanne ou B. de Loynes, A. Le Ny et Y. Offret et A.
Rousselle.

Les complexes simpliciaux sont les généralisations des graphes géométriques à  des relations non plus binaires mais aussi ternaires ou plus. Ce sont des objets très utilisés en analyse de données topologiques. Nous construisons sur ces objets une nouvelle marche aléatoire qui généralise la marche aléatoire canonique sur un graphe. Nous montrons que son générateur est intimemement au Laplacian du complexe simplicial, qui est une généralisation du Laplacien de graphe. Nous nous intéressons ensuite au processus limite quand la densité du nombre de points tend vers l’infini. Nous montrons comment utiliser cette marche pour localiser les trous de couverture dans un réseau radio.