Probabilities and Statistic seminar

Ce séminaire fait suite au groupe de travail et présentera un travail récent en collaboration avec Yvain Bruned, consacré à la construction d’un ansatz paracontrôlé général pour une large classe d’EDP stochastiques paraboliques singulières. Ces équations nécessitent la construction d’un cadre analytique particulier afin de pouvoir appliquer une procédure de renormalisation, permettant de donner un sens aux produits singuliers de l’équation.

L’objectif est de construire une procédure systématique permettant de décrire les différentes contributions stochastiques intervenant dans la solution et de renormaliser l’équation. L’ingrédient principal de la construction est une famille de distributions aléatoires indexée par des arbres décorés, fournissant un ansatz qui permet de résoudre l’équation via une procédure de point fixe. Ces objets sont construits de manière à satisfaire simultanément des propriétés analytiques de régularité et des propriétés algébriques indispensables aux calculs.

Nous expliquerons comment cette construction conduit à une formule générale de paralinéarisation, ainsi qu’à une formule permettant de définir les produits singuliers à travers des estimées de commutateurs. Enfin, nous décrirons la convergence des données stochastiques renormalisées, obtenue à l’aide d’une approche fondée sur l’inégalité de trou spectral et sur le calcul de Malliavin.

Dans ce travail, nous étudions un modèle de régression visant à décrire le comportement des valeurs extrêmes d’une variable Y à partir de covariables X. Nous proposons une méthode de réduction de dimension spécialement conçue pour les queues de distribution, permettant de surmonter le fléau de la grande dimension et d’améliorer l’estimation de l’indice des valeurs extrêmes conditionnel.

This talk is concerned with the long-time behavior of interacting particle systems of McKean–Vlasov type. We will first consider a general class of discrete-time stochastic particle systems and investigate their asymptotic behavior when both the number of particles and the time horizon tend to infinity. In particular, we will discuss how to obtain long-time convergence results beyond the classical uniform-in-time propagation of chaos framework, including situations where several McKean–Vlasov stationary measures may coexist. We will then turn to a specific application arising in zeroth-order optimization: Consensus-Based Optimization (CBO). CBO is a derivative-free optimization method in which particles interact through a weighted consensus point and are driven by noise. Our goal is to understand its behavior in the long-time regime and to establish theoretical guarantees for the finite-particle algorithm. In particular, we will quantify the different sources of error and study the interplay between the number of particles, the number of iterations, the discretization step, and the smoothing parameter.

Dans cet exposé, je présenterai un modèle décrivant l’expansion initiale d’une tumeur, en supposant l’absence d’interactions entre les cellules. Ce processus s’apparente à un modèle de naissances et morts à temps continu, auquel s’ajoutent des mutations rares : chaque mutation survient avec une probabilité faible, de l’ordre de $1/N^\alpha$. Les transitions possibles entre les différents types cellulaires sont représentées par un graphe de mutation. Notre analyse se concentre sur la taille des populations après un temps très long, de l’ordre de $\log(N)$, c’est-à-dire sur des échelles où la taille de la population peut atteindre des puissances de $N$. Je présenterai plus particulièrement le cas des mutations sélectives, qui peuvent donc accélérer la croissance tumorale. Le but est de donner la taille des différents clones (populations issues d’une mutation) et leurs variabilités. Il s’agit d’un travail en commun avec Vianney Brouard (Université de Bath).

Une triangulation est un modèle de surface discrète consistant à recoller un nombre fini de triangles le long de leurs côtés de manière à obtenir une surface. Dans le cas planaire (i.e. quand la surface doit avoir la topologie de la sphère), l’étude de triangulations aléatoires repose sur des résultats de comptage exacts obtenus par Tutte dans les années 60.

En revanche, pour des surfaces avec “beaucoup de trous”, de tels résultats exacts ne sont plus disponibles. Le but de l’exposé sera de donner une idée des techniques développées pour étudier des triangulations aléatoires de grand genre malgré le manque de résultats combinatoires précis. On verra en particulier que parfois, les résultats probabilistes permettent même d’obtenir en retour des estimées combinatoires. L’exposé sera basé sur des travaux en commun avec Baptiste Louf et Guillaume Chapuy, et j’évoquerai des résultats récents de Tanguy Lions.

Le modèle SIS (Susceptible-Infected-Susceptible) est une équation différentielle unidimensionnelle classique pour modéliser la propagation d’une épidémie dans une population homogène ; ce modèle fait apparaître un phénomène de seuil sur ses paramètres, menant à l’extinction ou la stabilisation de l’épidémie. Nous verrons comment un modèle stochastique individu-centré, en population inhomogène, conduit dans une limite de grande population à un processus limite déterministe qui généralise le SIS classique. Nous nous intéresserons alors à la diversité des stratégies de vaccination que cette généralisation suggère.

Travaux en commun avec J.-F. Delmas, D. Dronnier, K. Lefki

We introduce a unified stochastic framework for modeling multiscale financial volatility based on the Log Stationary Fractional Brownian Motion (Log S-fBM) model. This construction provides a continuous interpolation between multifractal volatility regimes and rough volatility dynamics, thereby capturing key empirical features observed in financial time series. We develop a statistically robust Generalized Method of Moments (GMM) estimation procedure within the small intermittency regime. Empirical findings indicate that market indices exhibit pronounced roughness, whereas individual assets display dynamics closer to the multifractal limit which is reproduced by the Nester Stationary fractional Factor model we proposed. The framework of the Log S-fBM is further extended to a multivariate setting, enabling the joint modeling of correlated assets through a multidimensional Log S-fBM structure. This extension preserves marginal properties while incorporating cross-asset dependencies, providing a coherent explanation for the observed discrepancy between index-level and single-asset volatility behavior. In addition, we propose an efficient simulation methodology for Volterra-type processes based on Random Fourier Features (RFF) approximations of the kernel with a particular focus on the S-fBM kernel. This approach yields improved numerical stability and computational efficiency, supported by theoretical error bounds and empirical validation. Overall, the proposed framework offers a consistent and tractable approach to linking rough volatility, multifractal scaling, and factor-based structures, with both theoretical and practical implications for financial modeling.

Dans ce séminaire, je m’intéresse au problème de l’identification d’une utilité dynamique consistante, qui, par définition, coïncide avec la fonction valeur d’un problème d’optimisation de portefeuille. Je montre que cette utilité est nécessairement solution d’une équation aux dérivées partielles stochastique (EDPS) forward, de second ordre et non linéaire.

J’établis ensuite une caractérisation explicite de cette solution en la représentant comme la composition de deux flots stochastiques bien choisis, ce qui permet d’en obtenir une résolution théorique.

À partir de cette représentation, je propose une approche numérique nouvelle pour approximer la solution. Cela conduit naturellement à l’étude d’un problème plus général : la composition de schémas d’Euler. Dans ce cadre, nous établissons un résultat général de convergence pour de telles compositions, applicable en particulier à l’EDPS considérée. Cette approche permet ainsi de construire des méthodes numériques simples et efficaces, fondées sur la composition de schémas associés à deux équations différentielles stochastiques appropriées.

Enfin, je présenterai quelques applications de cette approche, illustrant son intérêt au-delà du cadre initial, en particulier dans le domaine d’apprentissage des préférences.

L’estimation spectrale consiste en l’estimation des valeurs propres ou vecteurs propres de matrices bruitées. Dans cet exposé, nous verrons comment la notion d’indépendance libre, un concept issu de la théorie des opérateurs, permet de construire des estimateurs spectraux pertinents et d’en étudier la précision dans un régime non-asymptotique. Si le temps le permet, je présenterai des résultats relativement récents de Au, Dahlqvist, Gabriel et Male qui permettent une application de ce principe dans le cas de l’estimation de grands graphes bruités.

Cet exposé s’appuie partiellement sur un travail en collaboration avec Octavio Arizmendi et Carlos Vargas Obieta.

Dans la première partie, nous parlerons d’une nouvelle caractérisation des lois de Kummer par une propriété d’indépendance et du lien de cette caractérisation avec le fait que les lois de Kummer sont les seules mesures invariantes d’un modèle discret introduit en 2020 par Croydon et Sasada. Nous évoquerons aussi les connexions, observées par Sasada et Uozumi en 2022, entre de telles propriétés d’indépendance et les transformations de Yang-Baxter.

Travail en collaboration avec Jacek Wesolowski  (Warsaw University of Technology), paru dans Bernoulli en 2025.

La deuxième partie sera consacrée à une classe de copules appelée « copules de Lancaster ». Ce sont les copules associées à des couples de variables aléatoires réelles dont la loi a une densité admettant un développement en série impliquant les polynômes orthogonaux relativement aux lois marginales. Des simulations montrent que dans certains cas, les tout premiers termes de la série suffisent pour obtenir une bonne approximation de la copule. Cette partie de l’exposé est basée sur un travail commun avec Denys Pommeret (Aix-Marseille Université) et Yves Ngounou Bakam (De Vinci Research Center, Paris).