Équation de Belavkin en champ moyen à dimension infinie

En physique quantique, l’un des postulats fondamentaux est que la mesure directe d’un système le perturbe fortement. Si l’on souhaite effectuer des mesures continues du système, comme dans le cadre du contrôle optimal quantique, des mesures indirectes sont utilisées afin d’atténuer ces perturbations du système. Cela conduit à un système ouvert décrit par l’équation de filtrage quantique de Belavkin. Cette équation est une EDP stochastique dont les solutions appartiennent à l’espace des opérateurs à trace finie. Cependant, sous certaines conditions relatives à l’état initial (à savoir que le système se trouve dans un état pur), l’évolution est décrite par une équation stochastique sur les fonctions d’onde, qui est plus facile à étudier.

Si, de plus, le système que l’on souhaite mesurer est constitué de multiples particules en interaction, la simulation et le contrôle deviennent très coûteux. Une approximation couramment utilisée pour ces grands systèmes est l’approximation du champ moyen. Dans cette approximation, l’équation d’évolution globale pour les N particules est remplacée par un produit tensoriel de N solutions d’équations indépendantes pour une seule particule. Dans ces équations, le terme d’interaction entre les particules est remplacé par une non-linéarité de type Hartree, qui ne dépend pas des autres particules.