Probabilities and Statistic seminar

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We study the optimal transport problem on the real line with the cost given by the distance, a setting in which solutions (called optimal transport plans) are typically non-unique. The first part of the talk presents a decomposition theorem: every optimal transport plan admits a unique decomposition into components, each acting on a specific region where the mass moves forward, moves backward, or remains stationary. Building on this structure, the second part investigates the behaviour of an entropically regularized version of the problem as the regularization parameter tends to zero. A natural candidate for the limit is constructed from our decomposition together with a Strassen-type theorem for a strengthened stochastic order. When the source and target distributions are sufficiently singular, the entropic minimizers converge to this plan. In general, all limit points satisfy a structural property known as weak multiplicativity.

Single-cell data yield profound insight into the complex nature of molecular feature distributions. However, they also pose statistical analysis challenges. A key challenge is the intricate geometry of these distributions, which requires non-linear analysis methods. We propose a kernel-based framework for comparing conditions in single-cell experiments that allows non-linear comparisons of different cell populations. In this talk, I will explain how embedding the data in an infinite-dimensional reproducing kernel Hilbert space (RKHS) facilitates non-linear operations on the data via linear operations in the feature space. I will present a linear model in the RKHS and introduce a truncated kernel Hotelling-Lawley statistic with an associated kernel trick. This statistic has been shown to have an asymptotic chi-squared distribution, which allows to quantify the significance of the test results. The functionality and flexibility of the proposed approach will be demonstrated on scRNA-Seq data obtained in the context of cerebral arteries profiling. The goal of this analysis is to gain insight into the appearance of intracranial aneurysms.

Exposé à Metz. Titre et résumé à venir.

Exposé à Metz. Titre et résumé à venir.

jeudi 19 septembre, 10:45 réunion de rentrée de l’équipe PS

du jeudi 19 septembre, 16:00, au vendredi 20, 11:30 : L² Workshop in Probability and Statistics à Nancy, plus d’infos

We study the problem of simultaneously testing that each of k independent samples come from a normal population. The means and variances of those populations may differ. The proposed procedures are based on the BHEP test and they allow k to increase, which can be even larger than the sample sizes.

Most of the numerical approximation methods for PDEs in the scientific literature suffer from the so-called curse of dimensionality (CoD) in the sense that the number of computational operations and/or the number of parameters employed in the corresponding approximation scheme grows exponentially in the PDE dimension and/or the reciprocal of the desired approximation precision. In recent years, certain deep learning-based approximation methods for PDEs have been proposed and various numerical simulations for such methods suggest that they might have the capacity to indeed overcome the CoD in the sense that the number of real parameters used to describe the approximating neural networks grows at most polynomially in both the PDE dimension and the reciprocal of the prescribed approximation accuracy. In this talk, I will show some theoretical results which state that this is indeed the case for suitable Kolmogorov PDEs.

L’objectif de cet exposé est de montrer comment se comportent certains types de modèles de graphes en particulier des modèles de graphes à motifs exclus. Pour cela nous introduirons la décomposition modulaire, un outil relativement connu en algorithmique, mais dont l’étude d’un point de vue probabiliste a commencé très récemment. Nous verrons alors comment pour une large classe de modèles définies par diverses contraintes sur la décomposition modulaire, on arrive à connaître la densité de chaque graphe comme sous-graphe induit. Ce résultat implique une convergence au sens des “graphons” qui peut être vue comme une sorte de convergence des matrices d’adjacences. On a la convergence d’un graphe de taille n vers un graphe “continu” qui est appelé cographon Brownien et peut être construit à partir d’une excursion Brownienne.

Le but de cet exposé est de présenter quelques résultats récents pour le processus d’exclusion facilité en une dimension.
Ce modèle de gaz sur réseau stochastique est soumis à de fortes contraintes cinétiques qui créent une transition de phase continue vers un état absorbant à une valeur critique de la densité des particules. Si la dynamique microscopique est symétrique, son comportement macroscopique (avec conditions aux limites périodiques et dans l’échelle de temps diffusive), est régi par une EDP non linéaire appartenant aux problèmes à frontières libres (ou problèmes de Stefan). L’un des ingrédients majeurs est de montrer que le système atteint la composante “ergodique” en un temps sous-diffusif. Dans le cas asymétrique, la densité empirique converge vers l’unique solution entropique d’un problème hyperbolique de Stefan. Tous ces résultats reposent, dans une certaine mesure, sur un argument de mapping avec un processus de type zero-range, qui ne peut pas être utilisé en dimension plus grande que 1.
D’après des travaux en collaboration avec O. Blondel, H. Da Cunha, C. Erignoux, M. Sasada et L. Zhao.

Pour un graphe connexe donné muni de poids distincts sur les arêtes, il existe un unique arbre couvrant dont la somme des poids des arêtes est minimale: on l’appelle l’arbre couvrant minimal. On s’intéresse aux propriétés asymptotiques, pour n grand, de l’arbre couvrant minimal défini à partir du graphe complet à n sommets muni de poids i.i.d. sur les arêtes.
Un résultat de convergence locale nous décrit la structure de cet objet autour d’un point typique à l’aide d’un arbre discret infini. Dans un travail avec Omer Angel, nous montrons que cet arbre infini admet une limite d’échelle: lorsqu’on fait tendre les longueurs des arêtes de cet arbre vers 0, on voit apparaître un arbre continu, dont on peut donner une construction explicite.
Je présenterai les objets mentionnés et expliquerai les grandes lignes de la preuve de la convergence du discret vers le continu.

This paper delves into a challenging  problem of nonparametric estimation for the interaction function within diffusion-type particle system models. We introduce two estimation methods based upon an empirical risk minimization. Our study encompasses an analysis of the stochastic and approximation errors associated with both procedures, along with an examination of certain minimax lower bounds. In particular, for the first method we show that there is a natural metric under which the corresponding estimation error of the interaction function converges to zero with parametric rate which is minimax optimal. This result is rather surprising given the complexity of the underlying estimation problem and rather large class of interaction functions for which the above parametric rate holds.

L’apprentissage par transfert (transfert learning) vise à réutiliser les connaissances d’un ensemble de données source vers un ensemble de données cible similaire. Alors que plusieurs études abordent le problème de quoi ou comment transférer, la question très importante de quand le faire reste principalement sans réponse, surtout d’un point de vue théorique pour les problèmes de régression.
Dans l’exposé je présenterai le cadre général de l’apprentissage par transfert. Puis, je détaillerai un nouveau cadre théorique pour le problème du transfert de paramètres pour le modèle linéaire… Il est démontré que la qualité du transfert pour un nouveau vecteur d’entrée dépend de sa représentation dans une base propre impliquant les paramètres du problème. De plus, un test statistique est construit pour prédire si un modèle affiné (fine tuned) a un risque quadratique de prédiction inférieur au modèle cible de base pour un échantillon non observé. L’efficacité du test est illustrée sur des données synthétiques ainsi que des données réelles de consommation d’électricité.

David Obst, Badih Ghattas, Sandra Claudel, Jairo Cugliari, Yannig Goude, Georges Oppenheim,
Improved linear regression prediction by transfer learning, CSDA (2022)

Dans cet exposé, on s’intéresse à un certain type de champ aléatoire: le champ de Brown-Resnick. La loi de ce dernier est décrite par deux paramètres: l’un d’échelle, l’autre de Hurst. On suppose que le champ est observé dans une fenêtre fixée en un nombre fini de sites. Les sites sont donnés par la réalisation d’un processus ponctuel de Poisson. Estimer les paramètres par maximum de vraisemblance est en pratique impossible car les lois fini-dimensionnelles ne peuvent être calculées de façon efficace. Pour y remédier, nous considérons les estimateurs par maximum de vraisemblance composite en retenant comme pairs les pairs de points qui sont voisins dans la triangulation de Delaunay sous-jacent et comme triplets les triplets qui sont sommets d’un triangle de Delaunay. Les résultats sont des théorèmes limites sur ces estimateurs, lorsque l’intensité du processus de Poison tend vers l’infini. Travail joint avec Christian Y. Robert.