Probabilities and Statistic seminar

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We study the optimal transport problem on the real line with the cost given by the distance, a setting in which solutions (called optimal transport plans) are typically non-unique. The first part of the talk presents a decomposition theorem: every optimal transport plan admits a unique decomposition into components, each acting on a specific region where the mass moves forward, moves backward, or remains stationary. Building on this structure, the second part investigates the behaviour of an entropically regularized version of the problem as the regularization parameter tends to zero. A natural candidate for the limit is constructed from our decomposition together with a Strassen-type theorem for a strengthened stochastic order. When the source and target distributions are sufficiently singular, the entropic minimizers converge to this plan. In general, all limit points satisfy a structural property known as weak multiplicativity.

Single-cell data yield profound insight into the complex nature of molecular feature distributions. However, they also pose statistical analysis challenges. A key challenge is the intricate geometry of these distributions, which requires non-linear analysis methods. We propose a kernel-based framework for comparing conditions in single-cell experiments that allows non-linear comparisons of different cell populations. In this talk, I will explain how embedding the data in an infinite-dimensional reproducing kernel Hilbert space (RKHS) facilitates non-linear operations on the data via linear operations in the feature space. I will present a linear model in the RKHS and introduce a truncated kernel Hotelling-Lawley statistic with an associated kernel trick. This statistic has been shown to have an asymptotic chi-squared distribution, which allows to quantify the significance of the test results. The functionality and flexibility of the proposed approach will be demonstrated on scRNA-Seq data obtained in the context of cerebral arteries profiling. The goal of this analysis is to gain insight into the appearance of intracranial aneurysms.

Exposé à Metz. Titre et résumé à venir.

Exposé à Metz. Titre et résumé à venir.

Hawkes process was introduced by Hawkes in 1971 and are widely used in many applications (earthquakes, neurons, social network, finance, etc.). This jump process has an intensity which depends on the past. Linear “self-exciting” Hawkes process has been particularly studied and some asymptotic results are well-known.
During my PhD, with Manon Costa and Patrick Cattiaux, I considered non-linear Hawkes processes, which can model self-inhibition and self-excitation. We proved asymptotic properties (law of large numbers, CLT, large deviations), by considering a new point of view for this process: the renewal structure of some Hawkes process leads to a comparison with cumulative processes.
In this talk, I’ll introduce Hawkes processes and cumulative processes. By exhibiting their link, I’ll give an idea of the approach we use to prove asymptotic properties.

During this talk, we will review some recent advances in the multiplicative coalescent theory and its link to random graphs. The multiplicative coalescent dynamic naturally emerges when one regards the evolution of the connected components in a graph-valued Markov process. We will mainly focus on the breadth-first walk introduced by V. Limic (2019), a Lévy-type process encoding a random forest whose components (trees) are a representation of the multiplicative coalescent. We will then focus on the extension of this construction to account for the surplus edges data, in addition to the spanning edge data. We will present two different graph representations of the multiplicative coalescent, with different advantages and drawbacks, that are discussed in detail. In particular, we will show how to recover a realization of the random graph at a fixed time, and also as a process when the time parameter evolves. We will also discuss the use of these results to understand the scaling limits of near-critical random graphs in the domain of attraction of general eternal multiplicative coalescent.

Les MAMEs sur des graphes sont les MAs qui maximisent l’entropie trajectoriellement. Leurs constructions nécessitent une connaissance globale du graphe dont le rayon spectral et vecteur propre positif associé. A contrario, les MA simples peuvent être vues comme celles maximisant l’entropie localement.

Ces MAs ont été introduites il y a une dizaine d’années par des physiciens et des informaticiens. Elles ont par exemple de meilleures propriétés diffusives dans les réseaux réguliers et de fortes propriétés de localisations dans les milieux irréguliers. Elles ont déjà trouvé de nombreuses applications dans le traitement d’images ou la prédiction de liens dans un graphe notamment.

Je présenterai quelques exemples, notamment des MAMEs sur des graphes infinis et des processus d’exclusions maximaux entropiques, et je parlerai de certaines limites d’échelles de ces processus (Bessel 3, Mouvement Brownien de Dyson…).

Dans cet exposé, on introduit une nouvelle classe de schémas numériques qui permettent des approximations de faible régularité du second moment de la solution d’une EDP dispersive avec des données initiales aléatoires. Cette quantité joue un rôle important en physique, en particulier dans l’étude de la turbulence des ondes où il faut adopter une approche statistique afin d’obtenir une compréhension approfondie du comportement générique à long terme des solutions aux équations dispersives. Nos schémas utilisent une discrétisation basée sur la résonance après avoir appliqué le théorème de Wick qui produit des diagrammes de Feynman. Pour écrire ces schémas, on introduit des forêts décorées appariées qui sont deux arbres décorés dont les décorations sur les feuilles viennent par paires. La construction du schéma s’inspire du traitement des équations aux dérivées partielles stochastiques singulières via les structures de régularité. Il s’agit d’un travail conjoint avec Yvonne Alama Bronsard et Katharina Schratz.

…ou « Combien de projections sous-gaussiennes doit-on faire pour reconstruire un objet parcimonieux dans un dictionnaire redondant ? »

This work investigates the problem of signal recovery from undersampled noisy sub-Gaussian measurements under the assumption of a synthesis-based sparsity model. Solving the l1-synthesis basis pursuit allows to simultaneously estimate a coefficient representation as well as the sought-for signal. However, due to linear dependencies within redundant dictionary atoms it might be impossible to identify a specific representation vector, although the actual signal is still successfully recovered. We study both estimation problems from a non-uniform, signal-dependent perspective. By utilizing results from linear inverse problems and convex geometry, we identify the sampling rate describing the phase transition of both formulations, and propose a “tight” estimated upper-bound.

This is a joint work with Maximilian März (TU Berlin), Jonas Kahn and Pierre Weiss (CNRS, Toulouse).

À partir d’une suite de mouvements browniens bilatères indépendants, Kiss et Solecki ont construit un continuum (un espace métrique connexe, compact et non vide) aléatoire. Ils ont montré que ce continuum est indécomposable p.s. Avec Nicolas Curien, nous avons montré qu’il n’est pas héréditairement indécomposable p.s., et que ce n’est donc pas le pseudo-arc.

Dans cet exposé, j’expliquerai l’ensemble des termes précédents, la construction de ce continuum aléatoire et je vous expliquerai pourquoi il est indécomposable, mais pas héréditairement indécomposable.

Je m’intéresserai à un modèle de partitions d’entiers aléatoires qui est une déformation à un paramètre de la très classique mesure de Plancherel du groupe symétrique. Cette déformation, qui a une définition combinatoire explicite, a sa source dans la théorie des nombres de Hurwitz, qui comptent certaines familles de cartes plongées sur des surfaces. La déformation que nous étudions intervient naturellement lorsque l’on s’intéresse à des nombres de Hurwitz (ou des cartes) de très grand genre, un problème qui se formule également dans le langage de la marche aléatoire sur le groupe des permutations engendré par les transpositions. Nous exhibons un phénomène de forme limite d’un type nouveau pour ces partitions, qui a des conséquences pour l’énumération des cartes et pour la marche. La démonstration utilise une méthode dite “entropique” qui mélange un peu de calcul des variations à beaucoup d’estimées combinatoires.
L’exposé sera introductif, sans pré-requis, avec de jolies images.
Travail en commun avec Baptiste Louf et Harriet Walsh.

This project has received funding from the European Research Council (ERC) under the European Union’s Horizon 2020 research and innovation programme (grant agreement No. ERC-2016-STG 716083 “CombiTop”).

En informatique, les expressions aléatoires sont couramment utilisées pour analyser des algorithmes, que ce soit pour étudier leur complexité en moyenne, ou pour générer des benchmarks pour les tester expérimentalement. Généralement, ces approches considèrent les expressions en entrée comme des arbres purement syntaxiques, et font abstraction de leur sémantique, c’est-à-dire de l’objet mathématique représenté par l’expression.

Pourtant, deux expressions différentes peuvent être équivalentes (par exemple « 0*(x+y) » et « 0 » représentent la même expression, l’expression nulle). Ces phénomènes de redondances remettent-ils en question la pertinence de ces analyses et ces tests qui ne tiennent pas compte de la sémantique des expressions ?

Je présenterai comment la distribution uniforme sur les arbres syntaxiques d’expressions devient complètement dégénérée lorsqu’on commence à prendre en compte leur sémantique, dans le cas très simple mais courant où il existe un élément absorbant. Si le temps le permet, j’expliquerai pourquoi la distribution ABR laisse plus d’espoirs.

Il s’agit d’un travail effectué pendant ma thèse, en commun avec Cyril Nicaud et Pablo Rotondo.

Dans cet exposé je présenterai un travail en collaboration avec Oriane Blondel et Cristina Toninelli où nous étudions le modèle FA1f en dimension 1. Il s’agit d’un système de particules en interaction (plus précisément un modèle issu de la physique statistique dit modèle cinétiquement contraint où chaque site met à jour la valeur de son spin si une certaine contrainte locale est satisfaite, ici c’est le fait d’avoir au moins un 0 dans ses voisins). Dans ce travail, nous prouvons, sous certaines conditions, une vitesse linéaire, et des fluctuations gaussiennes, pour le front (i.e. le 0 le plus à gauche lorsque l’on part d’une configuration initiale avec que des 1 à gauche de l’origine et un 0 en l’origine). Ce talk sera l’occasion de présenter les techniques classiques utilisées dans les modèles de croissance aléatoire tels que le processus de contact et de parler de méthode de couplage permettant de passer d’un modèle bien connu a un modèle plus complexe (en particulier non attractif).

Après avoir présenté les défis numériques actuels pour atteindre des tailles de réseaux de l’ordre du cerveau humain, j’expliquerai pourquoi les processus de Hawkes peuvent être un bon modèle pour passer à l’échelle. J’expliquerai comment les algorithmes classiques peuvent être renouvelés pour y arriver. Une des approches les plus innovantes est basée sur un résultat probabiliste fort : la décomposition de Kalikow, qui permet de tirer au hasard les dépendances spatiales et dans le passé et que nous avons redéfini en temps continu. Elle permet en particulier de simuler un neurone immergé dans un réseau infini sans avoir à simuler le réseau infini. Ce travail est effectué en collaboration avec Eva Löcherbach (mathématicienne, Paris I), Alexandre Muzy (informaticien, Université Côte d’Azur) ainsi que nos étudiants : Cyrille Mascart, Tien Cuong Phi et Paul Gresland.