Séminaire Probabilités et Statistique

Dormancy is a complex trait that has evolved independently many times across the tree of life. In particular many micro-organisms can enter a reversible state of vanishing metabolic activity. The corresponding dormancy periods can range from a few hours to potentially thousands of years. Also, the dormancy transitioning mechanisms are highly diverse, including spontaneous dormancy initiation and resuscitation, responsive switching due to environmental cues, and competition-induced dormancy initiation. In general, dormancy allows a population to maintain a reservoir of genotypic and phenotypic diversity (that is, a seed bank) that can contribute to its longterm survival and coexistence. In this talk, we review some of the probabilistic structures that emerge from stochastic individual based models involving dormancy.

Recent works in time-frequency analysis proposed to switch the focus from the maxima of the spectrogram toward its zeros, which form a random point pattern with a very stable structure. Several signal processing tasks, such as component disentanglement and signal detection procedures, have already been renewed by using modern spatial statistics onthe pattern of zeros. Tough, they require cautious choice of both the discretization strategy and the observation window in the time-frequency plane. To overcome these limitations, we propose a generalized time-frequency representation: the Kravchuk transform, especially designed for discrete signals analysis, whose phase space is the unit sphere, particularly amenable to spatial statistics. We show that it has all desired properties for signal processing, among which covariance, invertibility and symmetry, and that the point process of the zeros of the Kravchuk transform of complex white Gaussian noise coincides with the zeros of the spherical Gaussian Analytic Function. Elaborating on this theorem, we finally develop a Monte Carlo envelope test procedure for signal detection based on the spatial statistics of the zeros of the Kravchuk spectrogram.

After reviewing the unorthodox path focusing on the zeros of the standard spectrogram and the associated theoretical results on the distribution of zeros in the case of white noise, I will introduce the Kravchuk transform and study the random point process of its zeros from a spatial statistics perspective. Then I will present the designed Monte Carlo envelop test, and illustrate its numerical performance in adversarial settings, with both low signal-to-noise ratio and small number of samples, and compare it to state-of-the-art zeros-based detection procedures.

Dans cet exposé, on s’intéressera à une marche aléatoire non markovienne, telle que la probabilité que la marche aille en un point donné est plus faible si elle est déjà passée souvent le long de l’arête entre la position initiale et la cible. Les modèles de ce type les plus étudiés sont ceux dans lesquels les arêtes sont non orientées. Cependant, en 2008 Tóth et Vető ont introduit une telle marche aléatoire avec auto-interactions pour laquelle les arêtes sont orientées, et découvert des propriétés très différentes de celles des modèles avec arêtes non orientées. Malgré l’intérêt d’un tel comportement, très peu de résultats ont été obtenus depuis sur ce modèle. On présentera de nouveaux théorèmes limites pour cette marche aléatoire.

Lors de ce séminaire je vais présenter différents modèles d’arbres binaires de recherche, un objet couramment utilisé en informatique pour étudier l’organisation optimale de données. Je vais commencer par définir plusieurs modèles d’arbres binaires de recherche, basés sur différents modèles de permutations (permutations uniformes, de Mallows et biaisées de record). Après ça, je vais expliquer quelques propriétés intéressantes de ces arbres, notamment comment ils peuvent être construits récursivement. Finalement, je vais conclure cette présentation en donnant des résultats concernant la hauteur de ces arbres et expliquer comment ces résultats peuvent être extraits des constructions précédemment introduites.

L’exposé s’intègrera à la masterclass M2

Dans cet exposé, nous étudions les conditions sous lesquelles la convergence du processus ponctuel des zéros de fonctions holomorphes aléatoire implique la convergence des fonctions holomorphes elles-mêmes. Nous montrons comment appliquer ce résultat au cas du polynome caractéristique de matrices aléatoires, et conjecturalement, à la fonction zeta de Riemann.

Joint work with Julien Chiquet and Stéphane Robin

Joint Species Abundance Models (JSDM) provide a general multivariate framework to study the joint abundances of all species from a community. JSDM account for both structuring factors (environmental characteristics or gradients, such as habitat type or nutrient availability) and potential interactions between the species (competition, mutualism, parasitism, etc.), which is instrumental in disentangling meaningful ecological interactions from mere statistical associations.

Modeling the dependency between the species is challenging because of the count-valued nature of abundance data and most JSDM rely on Gaussian latent layer to encode the dependencies between species in a covariance matrix. The multivariate Poisson-lognormal (PLN) model is one such model, which can be viewed as a multivariate mixed Poisson regression model. The inference of such models raises both statistical and computational issues, many of which were solved in recent contributions using variational techniques and convex optimization.

The PLN model turns out to be a versatile framework, within which a variety of analyses can be performed, including multivariate sample comparison, clustering of sites or samples, dimension reduction (ordination) for visualization purposes, or inference of interaction networks. We will presents the PLN framework and some variants and illustrate them on typical datasets. All the models and methods are implemented in the R package PLNmodels, available from cran.r-project.org.

We will introduce the setting of random dynamical systems with absorption, as for example induced by iterated function systems or stochastic differential equations on a bounded domain with killing at the boundary. We will show how to embed the process conditioned to never being absorbed, the Q-process, into the framework of random dynamical systems, allowing us to study multiplicative ergodic properties and the notion of Kolmogorov-Sinai entropy. Finally, we will elaborate on the relation between entropy and Lyapunov exponents for this setting.

La marche aléatoire de l’éléphant (ERW) est une marche aléatoire discrète qui a été introduite au début des années 2000 par deux physiciens afin d’étudier l’influence d’un paramètre de mémoire sur le comportement de la marche aléatoire. On commencera par introduire la marche aléatoire de l’éléphant en dimension 1 et sa généralisation à dimension d. On présentera ensuite plusieurs possibilités pour étudier et obtenir des résultats sur l’ERW, telles que l’approche martingale, lien avec les urnes de Polya ou encore les arbres aléatoires récursifs. En particulier, on expliquera comment l’utilisation des trois approches est nécessaire pour obtenir des informations sur la variable aléatoire limite qui apparaît dans le régime super-diffusif en dimension 1, et éventuellement en dimension d.

Nous nous intéresserons ici à l’obtention d’estimées bilatérales pour la densité du processus de Langevin tué au bord de l’ouvert D=(0,1) x R^d dans le cas d’un potentiel quadratique. Ces estimées sont cruciales pour obtenir un résultat de convergence de la distribution conditionnée à rester dans le domaine D vers l’unique distribution quasi-stationnaire, avec un préfacteur indépendent de la distribution initiale. En raison de la dégénérescence du Langevin et du fait que le domaine D soit non borné, il est nécessaire de développer une approche nouvelle. Dans ce travail, nous commençons par prouver des estimées bilatérales et explicites sur la probabilité du premier temps de sortie, que nous parvenons ensuite à étendre à la densité du processus tué à l’aide de contrôles gaussiens obtenus dans un travail précédent.

Dans cet exposé, on s’intéressera aux équilibres de Nash dans des jeux différentiels à deux joueurs avec contrôle sur les coefficients de diffusion, et avec corrélation des mouvements browniens dirigeant les équations. Nous considérerons des jeux de classement à somme nulle, dans le sens où les critères optimisés par les joueurs ne dépendent que de la différence des processus d’état des deux joueurs. Dans ce cadre, nous donnerons explicitement les stratégies d’équilibres, en fonction de la corrélation : si le coefficient de corrélation est inférieur à un certain seuil, les stratégies d’équilibres sont des « contrôles forts », tandis que si le coefficient de corrélation est supérieur à ce même seuil, les stratégies d’équilibres sont « mixtes », dans le sens où les joueurs auront un intérêt à choisir leurs stratégies au hasard. Cet exposé sera l’occasion d’introduire la formulation dite « relaxée » des problèmes de contrôle et de jeu stochastiques, formulation basée sur des solutions à des problèmes de martingales. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Stefan Ankirchner (Université de Jena) et Julian Wendt (Université de Jena).