Séminaire Probabilités et Statistique

On s’intéresse à  un modèle de neurones dit «intègre et décharge». Chaque décharge de neurones influence les autres neurones. On arrive à  une équation de type champ moyen avec un terme d’interaction assez singulier. Les questions sont : l’existence d’une solution en temps long, la construction d’un système de particules qui converge vers cette équation, la synchronisation des neurones.

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Considérons un arbre de Galton-Watson, et une marche aléatoire aux plus proches voisins sur celui-ci, avec biais vers le parent. Après une description empirique des propriétés simples de cette marche, nous proposerons dans notre exposé un théorème central limite fonctionnel sur la fonction de hauteur du marcheur dans l’arbre. Nous donnerons les idées principales de la preuve, qui se base sur l’étude de la fonction de contour de certains arbres bien choisis. Nous verrons aussi que cette preuve s’étend à  l’étude de marches aléatoires sur des arbres avec probabilités de transition elles-même aléatoires.