Werner Nahm

Many geometric problems concerning spaces of three of more dimensions have been solved by using the spaces as background for suitable physical systems. In particular one can use equations for electromagnetism or more complex gauge fields, as in the work of the Fields medalists Donaldson and Witten.

Though quantum field theory and string theory do not yet have a fully developed math- ematical foundation, they have started to be used for the same purpose. One example is the enumeration of Riemann spheres embedded in spaces of three complex dimensions by using the quantum phenomenon of mirror symmetry. The latter is based on the fact that different geometries can occur by sending the parameters of the same quantum field theory to different limits, even in cases where the geometries cannot be continuously connected in a classical way.

So far, the conformally invariant quantum field theories in two dimension have been the most useful ones. They also are the ones for which the mathematical formulation is most satisfac- tory. One of them has become famous for having the Fischer-Griess monster as symmetry group (as explored by Borcherds, who this year got the Fields medal). Further work along these lines should lead to explicit formulas for Einstein metrics on many spaces.

Traditionally, mathematicians have regarded quantum field theories as magical black boxes. To make full use of the new insights, they should be reinvented as elegant and well defined structures within the mainstream of mathematics.

Enrique Zuazua

In this lecture we shall present some recent results on the analysis of [latex]1-d[/latex] models of wave propagation in semi-discrete media. We shall mainly focus on the effect of the spurious high frequency oscillations on properties like the speed of propagation of waves and the boundary observability. The later arises naturally in the context of Control Theory and Inverse Problems.

Robert Stanton

In classical quantum mechanics the eigenvalues of the Hamiltonian provide labels for the states of the system. Physicists observed many years ago that in a large interval of a rel- atively large eigenvalue the distribution of the eigenvalues in the interval resembled the distribution of eigenvalues of a random matrix having symmetry properties similar to the Hamiltonian. Moreover, performing an ensemble average, then varying the size of the ma- trices, the resulting limiting distribution had remarkable similarities to the statistics of the physical system.

In recent years, Katz and Sarnak have done similar statistical analyses of random matrices from families of the classical compact Lie groups and applied the results to algebraic ge- ometry of curves over finite fields. While Rudnick, Sarnak et al have studied the statistical properties of zeroes of L-functions over number fields.

In this lecture I shall present some of the historical motivation for these investigations, de- scribe some of the ideas used to obtain the limiting distribution, and explain the applications to number theory in a particular case.

Pierre Vogel

Les nœuds sont des objets géométriques très simples. Ce sont des courbes simples dessinées dans l’espace usuel. Cependant la théorie des nœuds a connu ces dernières années une véri- table explosion.

Plusieurs nouveaux invariants de nœuds ont été découverts à l’initiative de V. Jones en 1985. Parmi ces invariants, le crochet de Kauffman est sans contexte le plus simple à définir. Il s’avère cependant très riche. Il se prète très facilement à des calculs graphiques et permet de distinguer de nombreux nœuds. Comme beaucoup d’invariants de nœuds et d’entrelacs, il permet de construire toute une famille d’invariants de variétés de dimension 3: les invariants de Reshetikhin et Turaev.

Ces invariants ont un certain nombre de propriétés géométriques, en particulier en ce qui concerne les modifications de type chirurgical. Par contre, pour bien comprendre leur com- portement par rapport à des opérations de type découpage et recollement, l’introduction des théories quantiques des champs topologiques s’avère fort utile. Ces théories construites directement à partir du crochet de Kauffman sont des objets mathématiques extrêmement riches qui témoignent de nombreuses propriétés des variétés de dimension 3 ainsi que des cobordismes entre surfaces.

Krzysztof Gawedzki

Dans les développements des dernières années liés aux invariants des nœuds et des 3-variétés, ainsi que dans la théorie conforme des champs, le rôle central a été joué par une connexion plate, dite de Knizhnik-Zamolodchikov. Cette connexion peut être interprétée comme une quantification des modèles intégrables introduits par Nigel Hitchin en 1987 et de leurs généralisations.

La construction de Hitchin, que je passerai en revue, donne lieu à une vaste famille de systèmes intégrables à partir d’une théorie de jauge bi-dimesionnelle. Les plus simples des systèmes de Hitchin peuvent être explicités à l’aide de la géométrie des espaces de modules des fibrés holomorphes sur des courbes complexes.

Jean-Paul HATON

Le temps joue un rôle fondamental dans la modélisation des processus perceptifs et cognitifs en vue de la conception et de la mise en œuvre de machines “intelligentes”. Il intervient sous au moins deux formes :

• comme variable régissant l’évolution d’un phénomène : c’est le cas des systèmes d’interprétation de signaux à évolution temporelle (sonar, radar, etc.) et de reconnaissance automatique de la parole,
• comme partie intégrante d’un raisonnement : le raisonnement temporel permet d’intégrer

le passé dans un processus de prise de décision et de planifier des actions pour le futur.

Nous présenterons différents modèles et formalismes qui ont été développés pour traiter ces trois aspects. En ce qui concerne le traitement de phénomènes à évolution temporelle, nous parlerons des modèles stochastiques (modèles de Markov cachés, modèles de trajectoires) et des modèles neuromimétiques (TDNN, réseaux récurrents, etc.) et nous illustrerons leurs principes avec des exemples en reconnaissance de la parole. Pour le raisonnement temporel, nous présenterons les modèles actuels et leurs limites (logiques temporelles modales et réi- fiées), avec des applications à la conduite de procédés industriels.

Nous concluons en donnant quelques perspectives sur ces différentes approches du temps et leurs combinaisons dans les systèmes du futur.