Laurent Mazliak

L’exposé concerne l’émergence de la statistique mathématique moderne en France au lendemain de la Première Guerre Mondiale. Après une description de la manière dont Emile Borel s’est emparé de la question du hasard mathématisé, nous nous intéresserons aux deux institutions qu’il a créées dans les années 1920, l’Institut de Statistique de l’Université de Paris en 1922 et surtout l’Institut Henri Poincaré en 1928. A l’IHP, une nouvelle publication, les “Annales de l’IHP” est fondée en 1931 et nous pencherons sur les premières publications qu’on y trouve concernant des sujets de statistique.

Nicolas Ressayre

Que peut-on dire du spectre de la somme de 2 matrices hermitiennes connaissant uniquement les spectres des 2 termes ? Bien que l’histoire de cette question élémentaire commence avec H. Weyl en 1912, elle n’a été résolue que très récemment. Un ingrédient essentiel dans cette résolution est une interprétation en terme de représentations ou d’action de groupes algébriques.

Soit [latex]G[/latex] un groupe complexe réductif (e.g. [latex]mathbf{C}^∗, SL_n(mathbf{C}), SO_n(mathbf{C})[/latex]). Soit [latex]H[/latex] un sous-groupe réductif de [latex]G[/latex]. Une représentation irréductible [latex]V[/latex] de [latex]G[/latex] est une représentation de [latex]H[/latex] qui n’est plus nécessairement irréductible. On se demande alors quels sont les sous-[latex]H[/latex]-modules irréductibles de [latex]V[/latex]. Nous présenterons quelques développements récents autour de cette question et en particulier ses liens avec celle concernant les matrices hermitiennes.

Serge Cantat

Le groupe de Cremona est formé de toutes les transformations du plan qui s’expriment à l’aide de fractions rationnelles en les coordonnées et qui admettent une application réciproque du même type. Je décrirai ce groupe et quelques unes de ses propriétés en le comparant à des groupes classiques, notamment aux groupes linéaires [latex]GL_n(k)[/latex].

Simon Salamon

It is well known that an oriented conformal structure in 2 real dimensions is the same thing as a complex structure. In higher (even) dimensions one can attempt to define different complex structures on the same Riemannian manifold, and their parametrization leads one to “twistor space”.

I shall discuss the simplest case of this theory by describing complex structures on 4-dimensional Euclidean space, and explaining why they are all constant (a “Liouville theorem”). Generalizations of this problem are tackled by passing to complex projective 3-space with a certain real structure. In this context, I shall discuss quadric and cubic surfaces and their discriminant loci.

Michael Harris

Le Lemme fondamental, démontré par Ngô Bao Châu en 2007-2008, est une identité explicite entre intégrales de fonctions sur certaines paires de groupes p-adiques, le long des classes de conjugaison. Il a été formulé en tant que conjecture par Langlands et Shelstad en 1987, avec deux principales motivations : de stabiliser la formule de traces d’Arthur et Selberg, afin d’établir les conjectures de fonctorialité de Langlands dans certains cas, et de déterminer les représentations de groupes de Galois de corps de nombres réalisées dans la cohomologie de variétés de Shimura. Je décrirai les représentations galoisiennes construites à l’aide du Lemme fondamental et j’indiquerai comment les méthodes de Wiles permettent de les utiliser pour résoudre certains problèmes traditionnels en théorie algébrique des nombres, notamment la conjecture de Sato-Tate.

Bruno Colbois

Dans cet exposé je présenterai des résultats récents permettant d’obtenir des bornes supérieures du spectre du laplacien des hypersurfaces de l’espace euclidien.

Dominique Cellier

L’alignement de séquences biologiques (ADN, ARN, EST, protéines) constitue en général une première étape fondamentale dans l’analyse de ces dernières : recherche de séquences homologues dans les banques de données, détection de structures, de domaines ou de fonctions par génomique comparative, reconstruction phylogénétique.

L’approche classique de l’alignement de deux séquences est de type combinatoire : à partir d’un système de score nucléique ou de matrices de similarité protéique (PAM, BLOSUM) déterminer l’alignement (global ou local) de score maximum. Deux algorithmes de programmation dynamique (Needleman & Wunsch et Smith & Waterman) permettent de construire de manière exacte cet alignement optimal et des résultats sur les valeurs extrèmes permettent d’en déterminer la signification statistique (formule de Karlin, Z-score), base des programmes d’interrogation des banques de données (BLAST, FASTA).

Une alternative à cette approche est le développement de méthodes probabilistes dont les plus fréquentes actuellement sont celles d’alignement par chaînes de Markov cachées. Dans ce cas, pour un modèle ajusté au cours d’une phase d’apprentissage, l’alignement local ou global s’obtient par l’algorithme de Viterbi.

Fedor Bogomolov

Many problems in the study of complex algebraic varieties can be reduced to the study of algebraic varieties over the fields of finite characteristics. For example the only existing proof of the Mori theorem on the existence of rational curves is based on reduction to finite characteristics. In fact most of the questions in complex algebraic geometry can be reduced to the case of study of varieties over finite fields where additional finiteness arguments apply. In this talk I will discuss the structure of projective curves of higher genus defined over finite fields considered as a subset of their jacobian variety.

Bertrand Remy

Il s’agit d’expliquer les questions de base en rapport avec l’existence et la construction de groupes infinis, simples et de type fini (c’est-à-dire engendrés par une partie finie). C’est un problème naturel de théorie des groupes. Une remarque de départ est que, pour les groupes infinis de type fini, être simple et être linéaire (c’est- à-dire isomorphe à un groupe de matrices) sont des propriétés incompatibles.

Ceci force à travailler sur des groupes pour lesquels les techniques de groupes de matrices ou de groupes algébriques sont inopérantes (mais pas les intuitions !). On expliquera qu’une question plus délicate et plus intéressante est celle de la construction de groupes infinis simples qui soient de présentation finie (c’est-à-dire pouvant être définis par une famille finie de générateurs soumis à un nombre fini de relations).

On finira en expliquant une stratégie récente de construction, s’appuyant sur une analogie (forcément limitée) avec les réseaux des groupes de Lie; les groupes obtenus agissent sur le produit de deux arbres (M. Burger et Sh. Mozes, 2000). Cette approche, en gros, sert à démontrer la simplicité d’autres réseaux d’immeubles (ce dernier point est un travail en commun avec P.-E. Caprace, 2007).

Daniel Lacombe

Dès sa publication, le théorème d’incomplétude de Gödel s’est acquis une vaste re- nommée, non seulement dans le milieu (fort restreint) des logiciens-mathématiciens, mais aussi dans une population beaucoup plus vaste : mathématiciens, philosophes, commentateurs et vulgarisateurs de toute espèce. Malheureusement, cette notoriété s’est accompagnée d’une foule d’erreurs et d’incompréhensions, tant du point de vue technique que du point de vue épistémologique général. On en donnera des exemples en essayant de leur trouver un fil conducteur.