Michel Waldschmidt

Les méthodes de transcendance ont toutes leur fondement dans les travaux précurseurs de Charles Hermite en 1873, quand il a démontré la transcendance du nombre e. On connaissait alors depuis une trentaine d’années des exemples de nombres transcendants, grâce aux travaux de Joseph Liouville, mais ceux qu’il avait exhibés étaient artificiels, spécialement construits pour satisfaire des contraintes d’approximation diophantienne très strictes. La démonstration par Georg Cantor de l’existence de beaucoup de nombres transcendants était nettement moins explicite. Hermite est le premier à démontrer la transcendance d’une constante fondamentale de l’analyse. Sa démonstration allait être exploitée en 1881 par Ferdinand Lindemann, qui donnait ainsi la réponse définitive au problème de la quadrature du cercle.

Nous présentons quelques unes des idées du mémoire d’Hermite et nous montrons comment elles ont évolué depuis, permettant de résoudre un certain nombre de problèmes de transcendance – mais les questions ouvertes sont encore les plus nombreuses.

Hélène Esnault

Le groupe fondamental est défini en topologie comme groupe de classes d’homotopie de lacets. Grothendieck a transporté cette notion en géométrie algébrique arithmétique en utilisant une dualité proche de la dualité de Tannaka. Il définit ainsi le groupe fondamental arithmétique d’un schéma. Si le schéma est le spectre d’un corps, c’est le groupe de Galois de ce corps. Deligne a utilisé la dualité de Tannaka pour définir son groupe fondamental motivique. Nous discutons quelques aspects et théorèmes récents concernant ces groupes fondamentaux, en particulier un (avec Marc Levine) établissant un parallèle frappant entre les constructions arithmétiques et motiviques.

Yves Colin de Verdière

La méthode d’imagerie passive en sismologie, développée notamment dans l’équipe de Michel Campillo au LGIT de Grenoble, utilise la corrélation du bruit sismique enregistré sur de longues durées dans un réseau de stations. Cette corrélation est li ́ee de fa ̧con simple `a la fonction de Green des ondes sismiques.

Harold Rosenberg

A classical theorem of Bernstein states that the only entire minimal graph over the euclidean plane E of dimension 2, is a plane. A harmonic map from the unit disk H to the plane E, is a map whose coordinate functions are harmonic functions on the disk. In the 1950’s, Heinz gave a proof of Bernsteins’ theorem by first proving there is no harmonic diffeomorphism from H onto E.

We will discuss graphs over H that are minimal surfaces ( in HxR, where H has the hyperbolic metric ). When the graph is entire (defined over all of H), the vertical projection to H is a harmonic diffeomorphism of the graph onto H ; the notion of harmonicity depends on the hyperbolic metric.

We will show how to construct entire minimal graphs over H that are conformally the complex plane C. Then the vertical projection yields a harmonic diffeomorphism from C onto H. This settles (negatively) a conjecture of R Schoen, stating that no such harmonic diffeomorphism exists.

Ernst Kuwert

For a surface in Euclidean space, the Willmore energy is given by integrating the squared mean curvature over the surface, and can be viewed intuitively as a bending energy. It is invariant under conformal transformations of space, which is beautiful from the viewpoint of geometry but poses difficulties in the analysis : sequences of surfaces with uniformly bounded energy may degenerate. We eventually present a bi-Lipschitz type estimate which allows to overcome the problem in relevant situations.

Michael McQuillan

On pense très souvent que l’oeuvre mathématique de Grothendieck s’applique exclusivement à la géométrie algébrique. En dehors du fait que Grothendieck a probablement écrit plus en analyse fonctionnelle qu’en géométrie algébrique (bien qu’il ait dirigé plus de travaux en géométrie algébrique), une telle opinion ignore le caractère meta-géométrique de son oeuvre, et son applicabilité à n’importe quelle situation géométrique. Pour apercevoir ce qu’est la meta-géométrie, il est utile de regarder le film ”Matrix” (surtout le premier, les autres étant moins significatifs) et de comparer la mathématique à ”Matrix”, c’est-à-dire à un appareil pour tenir les mathématiciens en esclavage. Le but de l’exposé sera d’étendre cette comparaison non seulement pour comprendre mieux la pensée de Grothendieck, mais aussi pour exposer (à mes risques et périls) le complot de la mafia des anneaux (cf. les sentinelles dans le film) qui cherche a obscurcir cette pensée.

Hanspeter KRAFT

Let [latex]G[latex] be a finite group and [latex]V[latex] a [latex]G[latex]-variety, i.e. an irreducible algebraic variety with a regular action of [latex]G[latex]. A compression of [latex]V[latex] is a [latex]G[latex]-equivariant dominant morphism [latex]f : Vto X[latex] such that [latex]G[latex] acts faithfully on [latex]X[latex]. The basic questions are : (a) How much can one compress a given action ? (b) What are the incompressible [latex]G[latex]-varieties ?

We first discuss this concept from two rather different points of view : (i) Generic struc- ture of Galois-coverings and (ii) Equations for field extension. We then define the covariant dimension of [latex]G[latex] which measures how much a representation of [latex]G[latex] can be compressed. This has to be compared with the essential dimension of [latex]G[latex] which was introduced by Buehler and Reichstein in order to study the number of parameters of equations. Finally, we will give a short overview on known results, work out a few interesting examples and discuss some open questions. (This is mostly joint work with G.W. Schwarz.)

Bernard Bonnard

L’objectif de cet exposé est de présenter les techniques de contrôle optimal dites géométriques, développées dans le cadre de projets en collaboration avec le CNES, sur deux problèmes de mécanique spatiale : le calcul de l’arc atmosphérique d’une navette spatiale et le problème de transfert orbital. Ces deux problèmes ayant été réactualisés avec le projet des lanceurs récupérables pour le premier, et la technologie de la propulsion faible pour le second. Dans les deux cas, on utilise le principe du maximum et des techniques de calcul de points conjugués, combinées avec des méthodes géométriques et numériques, pour évaluer la trajectoire optimale.

Pour le transfert orbital, on étudie les problèmes optimaux du temps minimal (le temps de transfert pouvant être de l’ordre d’une année) ou de la maximisation de la masse finale, dans le cadre de la poussée faible. On fait une étude géométrique du système qui permet de comprendre l’effet des directions de poussée. On présente des résultats théoriques et numériques pour calculer la loi optimale pour le transfert optimal vers l’orbite géostationnaire. Le problème moyenné est associé à un problème riemannien. Ce résultat permet de calculer numériquement les trajectoires optimales des problèmes initiaux, en appliquant une technique de continuation.

Pour le problème de rentrée atmosphérique, la situation est différente : il y a l’effet du frottement atmosphérique et la poussée est coupée, dans cette phase le contrôle étant la portance (la navette est un planeur). Par ailleurs la rentrée est rapide et il y des contraintes actives sur l’état, en particulier sur le flux thermique. Le critère est le facteur d’usure. Nos travaux ont permis de calculer la structure de la trajectoire optimale, évaluée ensuite numériquement avec une méthode de tir multiple, pour les conditions du cahier des charges du CNES.

Philippe Bougerol

Au début des années 90, dans le cadre de la théorie classique des représentations des groupes compacts, ou des groupes complexes semi-simples, Peter Littelmann a introduit une nouvelle approche basée sur l’étude des chemins continus à valeurs dans l’espace euclidien correspondant à une sous-algèbre de Cartan. C’est un modèle combinatoire : par exemple la multiplicité d’un poids va correspondre au nombre de chemins ayant une certaine propriété. On peut le traduire en termes probabilistes : il s’agit alors de considérer des marches aléatoires à valeurs dans des réseaux. Si l’on s’intéresse à des propriétés asymptotiques des représentations (par exemple en faisant tendre le plus haut poids vers l’infini), on ne peut plus compter. Par contre la mesure de Wiener, donc le mouvement brownien, donne un sens au ”nombre infini de chemins vérifiant telle ou telle propriété”. Le mouvement brownien étant une limite de marches aléatoires, le modèle de Littelmann se généralise en une théorie asymptotique des représentations.