Nalini Anantharaman

Adam Harper

I will talk a little about the Riemann Hypothesis, andhow it can be reformulated as a question about cancellation in the sum of the Mobius function, which only takes values 1, -1, and 0.

Then I will explain what is known and conjectured about the size of this sum, and try to describe the work of various authors on a random analogue of the problem.

There are connections with the Law of the Iterated Logarithm and with large values theory for Gaussian processes, which I will try to sketch.

Vera Serganova

The goal of this lecture is to show interplay between supersymmetry and tensor categories. The main idea of supersymmetry is to equip all objects with parity ( [latex]mathbf{Z}_2[/latex]-grading) and modify usual identities by so called sign rule. Original motivation comes from physics and topology, for example, a complex of differential forms on a manifold is a supermanifold and De Rham differential can be realized as a vector field on this super manifold. One way to approach supersymmetry is via rigid symmetric tensor categories.

After elementary introduction to supersymmetry and tensor categories, I will formulate theorem of Deligne that any rigid symmetric tensor category satisfying certain finiteness conditions is in fact the category of representations of a supergroup.

Then I illustrate how both theories enrich each other on two examples:

1. Decomposition of tensors in superspace;
2. Construction of universal symmetric tensor categories and proof of a conjecture of Deligne using results of representation theory of supergroups.

Damien Gaboriau

Georges Skandalis

Elek et Szabo ont démontré que les groupes sofiques (de Gromov) vérifient la conjecture de Lück. Nous présenterons un travail en collaboration avec G. Balci qui donne une définition des groupes sofiques et une démonstration de ce résultat à l’aide de traces sur la [latex]C^∗[/latex]-algèbre du groupe libre.

Si le temps le permet, nous esquisserons les liens de la conjecture de Lück avec une conjecture (ou plutôt un problème) d’Atiyah.

Présenterons les principaux objets :

–  Gromov a introduit une classe de groupes (dénombrables) appelés groupes sofiques qui

sont en un sens précis bien approchables par des groupes de permutation [latex]mathfrak{S}_n[/latex]. Précisons que l’on ne connait pas pour le moment de groupes non sofiques et que tous les groupes profinis ou moyennables sont sofiques.
–  La conjecture de Lück pour un groupe [latex]Gamma[/latex] prédit que pour [latex]x[/latex] dans l’anneau [latex]mathbf{Z}Gamma[/latex] d’ungroupe [latex]Gamma[/latex], le « produit continu » des valeurs propres non nulles de [latex]x∗x[latex] est supérieur à 1.

Reinhard Farwig

The Navier-Stokes system is the standard model to describe the flow of an incompressible viscous fluid. Although global in time weak solutions can easily be constructed by several methods, it is an open problem in the three-dimensional case whether these solutions are unique, satisfy a physically reasonable energy equality and are strong or even smooth of class [latex]C^infty[/latex].

In this talk we explain this famous Millennium Problem of Clay Mathematics Institute in more details and report on classical results as well as on recent progress.

Christian Gérard

La théorie quantique des champs est formulée d’habitude sur l’espace-temps plat de Minkowski. L’extension de ce cadre à des espaces-temps généraux permet de mettre en lumière de nouveaux phénomènes quantiques qui surviennent en présence d’un champ gravitationnel fort.

Nous présenterons tout d’abord le cadre algébrique de la théorie des champs libres en espace-temps courbe, en traitant le cas modèle d’un champ de Klein-Gordon.
Dans une deuxième partie nous aborderons les difficultés nouvelles dues à l’absence d’un groupe d’isométries sur un espace-temps courbe, qui se traduisent physiquement par l’absence d’un état de vide naturel. Nous illustrerons ces difficultés par deux effets emblématiques de la théorie des champs en espace-temps courbe, l’effet Unruh et l’effet Hawking.

Enfin nous décrirons les avancées relativement récentes dans la caractérisation d’états physiquement raisonnables en espace-temps courbe, basées sur l’utilisation de l’analyse microlocale.

Gérard Biau

La méthode des forêts aléatoires, imaginée par L. Breiman dans les années 2000, fait aujourd’hui partie des techniques d’apprentissage les plus performantes disponibles sur le marché, comme en témoignent par exemple ses multiples succès dans les compétitions internationales.

A ce jour, les performances empiriques exceptionnelles des forêts aléatoires restent un mystère absolu sur le plan mathématique.

Dans cet exposé, je passerai en revue quelques unes des propriétés de la méthode tout en présentant les dernières avancées théoriques sur le sujet.

Enrique Zuazua

Fréquemment, en ingénierie et dans d’autres sciences, les modèles statiques ne suffisent pas, les modèles judicieux sont alors de nature dynamique.

Des phénomènes d’irréversibilité temporelle apparaissent aussi souvent. Il y en a deux sources principales. Premièrement, la diffusion, qui même dans un contexte linéaire, crée une dynamique hautement irréversible avec, en contrepartie, de sévères difficultés de problèmes mal-posés. Deuxièmement, la non-linéarité peut produire des singularités et la perte d’unicité de la source.

Malgré cette irréversibilité temporelle intrinsèque, les problèmes inverses et plus particulièrement l’identification de la source de la dynamique sont particulièrement importants.

Dans cet exposé pour tous et sans technicité, nous revisiterons les outils classiques et présenterons des résultats récents sur ce sujet qui représente un véritable défi.

Gunther Uhlmann

Invisibility has been a subject of human fascination for millenia, from the Greek legend of Perseus versus Medusa to the more recent The Invisible Man, The Invisible Woman, Star Trek and Harry Potter, among many others.

Over the years, there have been occasional scientific prescriptions for invisibility in various settings but the route to cloaking that has received the most attention has been transformation optics. To achieve invisibility one can design materials that would steer light around a hidden region, returning it to its original path on the far side. Not only would observers be unaware of the contents of the hidden region, they would not even be aware that something was being hidden. We will recount some of the history of invisibility and transformation optics.