On a closed Riemannian manifold, it is well known that critical metrics for volume-normalized Laplace eigenvalues are closely connected to minimal isometric immersions into spheres by eigenfunctions. In this talk, we address the analogous question for the conformal Laplacian by considering ratios of eigenvalues instead. We first motivate this normalization by establishing a Payne–Pólya–Weinberger inequality for the ratio of the first two eigenvalues in terms of a conformal invariant. Then we prove that critical metrics for this ratio correspond to harmonic–Einstein maps into spheres, which are solutions of a nonlinear sigma model coupled to gravity. Finally, we extend these results to the family of GJMS operators and beyond.

Lucas nous présentera ses travaux selon le modèle habituel :

45 minutes d’introduction

30 minutes de pause thé-gateaux

45 minutes d’exposé plus approfondi

A geometric energy landscape is usually investigated locally through its critical points and their Morse indices. Understanding its global structure is challenging and requires both analytic and topological approaches. We present a special case where such global analysis is feasible: the Willmore energy of immersed 2-spheres in $\mathbb{R}^3$ . We show that the subset of immersions with energy at most $12\pi$ consists of four path components. As a consequence, we obtain insight into the singular behavior of the Willmore flow and a relation between self-intersections and the Willmore energy beyond the Li-Yau inequality. To prove these results, we glue together different instances of the Willmore flow and devise an invariant for triple-point-free immersed spheres.

arXiv: https://arxiv.org/abs/2506.23359 and https://arxiv.org/abs/2506.21130

The Willmore energy is a classical (almost) conformal invariant measuring the complexity of an immersion.  Its critical points are called Willmore surfaces and can be understood as elasticas generalizing minimal surfaces in any of the three conformal models. In this talk, we will angle our study through the tool of the Conformal Gauss Map. This application into a de Sitter space offers a natural link between harmonic surfaces in a Lorentz context and Willmore surfaces, and allows one to turn many non linear aspects of Willmore studies, into Lorentzian linear ones, with one key issues: it breaks down at umbilic points. An approach of these singularities through a Gauss-Bonnet formula will allow us to recover links between the Willmore energy and the Conformal/Renormalized volumes.

Bach-flat metrics are a natural generalization of Einstein and self-dual metrics in dimension four and arise as critical points of the Weyl energy.
Such energy is conformally invariant and it is naturally defined for Riemannian metrics of Sobolev class W 2,q with q > 2. In this talk, we will show that Bach- flat metrics of such Sobolev class are indeed smooth up to global conformal diffemorphisms. Furthermore, we will establish regularity properties of metrics whose Bach tensor is controlled in suitable Sobolev spaces, and analogue results in higher dimensions. This is based on joint work with Rodrigo Avalos and Albachiara Cogo.

Titres et résumés à venir.

Titre : Arithmétique des schémas en groupes de Bruhat-Tits sur les anneaux de Dedekind semi-locaux.

Résumé :

Soit un DVR R et groupe réductif G sur K = Frac(R). On dit que P est un schéma en groupes de Bruhat-Tits sur R si, pour tout idéal maximal m de R, P est de Bruhat-Tits (au sens usuel) sur la complétion de R par m.
Dans notre situation, un schéma en groupes de Bruhat-Tits sur un DVR complet peut être un schéma en groupes parahorique, stabilisateur d'un point, ou même le modèle de Néron lft d'un tore, ou des schémas en groupes encore plus exotiques.

La question clé de l'exposé est de comprendre quand l'application H^1(R,P) --> H^1(K,G) est injective. 
Cette question a été initialement posée par Bayer et First pour leurs études sur les groupes classiques et les ordres héréditaires. 
La célèbre conjecture de Grothendieck-Serre sur R (démontrée par Nisnevich et Guo) est le cas particulier où P est réductif sur R.

Nous posons d'abord les bases de l'étude de la question, puis démontrons que l'application est toujours injective lorsque G est semi-simple simplement connexe (pour tout P). 
Nous donnons également quelques contre-exemples lorsque l'injectivité n'est pas réalisée.
Nous donnons également une preuve simplifiée de la conjecture de Grothendieck-Serre sur R, preuve qui s'inscrit donc davantage dans une approche immobilière.

La conjecture du cône mobile de Morrison–Kawamata prédit que, pour certaines variétés de type Calabi–Yau, l’action du groupe des pseudo-automorphismes sur le cône mobile modifié admet un domaine fondamental rationnel polyédral.

Dans cet exposé, je présenterai une version relative de cette conjecture pour des fibrations K-triviales. Le résultat principal concerne des fibrations dont la fibre très générale est un quotient, par un groupe fini d’automorphismes, d’un produit d’une variété abélienne et de variétés irréductibles holomorphiquement symplectiques projectives de types connus. Nous verrons que, dans ce cadre, la conjecture du cône mobile relative vaut sous forme faible. J’expliquerai également comment les méthodes de preuve conduisent à la finitude des modèles minimaux relatifs de telles fibrations.