A fundamental result in Complex Geometry is the Kobayashi-Hitchin correspondence, stating that a holomorphic vector bundle on a Kähler manifold is poly-stable (as defined by Mumford, Takemoto) if and only if it admits a Hermitian metric solving the Hermite-Einstein equation. It has now become clear that there exist many possible different stability notions for vector bundles, that are of great interest in Algebraic Geometry and String Theory. It is natural to wonder if these stabilities are also tied to the existence of Hermitian metrics with special curvature properties. In this talk, based on joint work with Julien Keller (arXiv:2405.03312[math.DG]), we will consider a class of “polynomial” equations for the curvature of rank 2 holomorphic vector bundles on compact projective surfaces, and a corresponding class of polynomial stability conditions for these bundles. We will then explain how each of these stability conditions is related to the existence of a Hermitian metric satisfying the corresponding equation. This refines and partially confirms a conjectural correspondence between Bridgeland stability conditions and PDEs on holomorphic vector bundles, formulated by Dervan, McCarthy, and Sektnan.

L’espace des métriques kähleriennes.

Un problème classique en géométrie kählerienne est de trouver des métriques kähleriennes spéciales, cet à dire avec des bonnes propriétés de courbure. En relation avec ce problème, l’étude de l’espace des métriques kähleriennes, que l’on denote H, devient cruciale.

Cet espace à été étudié à partir des année 80 quand Mabuchi a introduit un produit scalaire sur chaque espace tangent. À partir de cela, une famille de distances d_p, p>=1, on été définie sur H en démontrant que (H, d_p) est une espace métriques mais pas complet.
Dans la première partie cette exposé on donnera un panorama de tout ce que on sait sur cet espace. Puis parlera plus en détail de ses géodésiques, son complété métrique et des distances d_p.
Les résultats présentés dans cette exposé sont basés sur des deux travaux, un en collaboration avec Vincent Guedj et l’autre en collaboration avec Chinh Lu.

En 1986 William Thurston a introduit une distance Lipschitz sur
l’espace de Teichmueller de surfaces fermées ou avec cusps. Avec Daniele
Alessandrini on a étendu cette théorie à l’espace de Teichmueller des
surfaces à bord géodésique. On construit une famille de géodésiques pour
l’espace de Teichmueller des surface à bord, qui généralisent les lignes
d’étirement construites par Thurston. Comme corollaire, on trouve une
nouvelle classe de géodésique dans l’espace de Teichmueller des surfaces
fermées avec la distance Lipschitz. Ce travail est en collaboration avec
Daniele Alessandrini (Columbia University).

Titre : Structures Calabi-Yau et espaces de représentations.

Résumé : Brav et Dyckerhoff ont montré que, dans un contexte approprié, les structures dites Calabi-Yau (CY) en algèbre noncommutative induisent des structures lagrangiennes sur les espaces de représentations. Je vais donner des applications de ce principe dans le cadre des carquois en exhibant de nouvelles sous-variétés lagrangiennes du schéma de Hilbert de points sur le plan, correspondant à des lieux critiques dits relatifs ou contraints. J’expliquerai aussi comment ces structures CY recouvrent des notions standard en géométrie Poisson et (quasi)Hamiltoniennes, et comment elles donnent lieu à une nouvelle théorie topologique des champs (TFT) si le temps le permet. C’est un rapport sur des travaux réalisés avec Damien Calaque et Sarah Scherotzke.

Titre: Groupes de tresses et algèbres de Hecke de normalisateurs de sous-groupes de réflexions

Résumé: Étant donné un groupe de réflexions complexe (fini) et un sous-groupe de ce dernier engendré par des réflexions, on peut se demander sous quelles hypothèses ce sous-groupe admet un complément à l’intérieur de son normalisateur. Dans le cas des groupes de Coxeter et de leurs sous-groupes paraboliques, Howlett a montré qu’un tel complément existe toujours et a donné un algorithme pour en déterminer un système de générateurs. Taylor et Muraleedaran ont montré que les sous-groupes paraboliques des groupes de réflexions complexes finis admettent également un complément. Lorsque le sous-groupe n’est pas parabolique, l’existence de complément n’est en général pas garantie.

En lien avec l’étude des algèbres de Yokonuma-Hecke, Marin a défini un groupe que l’on peut considérer comme le groupe de tresses d’un normalisateur d’un sous-groupe de réflexions. Celui-ci contient le groupe de tresses du sous-groupe de réflexions comme sous-groupe normal, fournissant une suite exacte courte qui relève celle induite par l’inclusion du sous-groupe de réflexions dans son normalisateur. On peut également construire l’analogue d’une algèbre de Hecke pour le normalisateur du sous-groupe de réflexions. Dans les cas où la suite exacte induite par l’inclusion du sous-groupe de réflexions dans son normalisateur est scindée, on peut se demander si cette propriété se relève à la suite exacte impliquant le groupe de tresses du normalisateur. Si c’est le cas, on obtient une décomposition en produit semi-direct de l’algèbre de Hecke du normalisateur, ce qui permet notamment d’en construire une base standard.

Dans un premier temps, nous rappellerons les définitions et constructions des objets considérés. Nous expliquerons pourquoi, dans le cas d’un groupe de Coxeter fini et d’un sous-groupe de réflexions arbitraire, le groupe de tresses du normalisateur se décompose toujours en un produit semi-direct (travail en commun avec Anthony Henderson et Ivan Marin). Si le temps le permet, nous évoquerons la situation plus générale des groupes de réflexions complexes finis. Dans ce cas, les suites exactes mentionnées plus haut ne sont pas scindées en général, mais sous de bonnes hypothèses sur le corps de base et l’ensemble des paramètres, il existe toujours une décomposition en produit semi-direct de l’algèbre de Hecke du normalisateur (travail en commun avec Ivan Marin).

Les structures localement conformément produit (LCP) apparaissent sur les variétés conformes compactes lorsque l’on considère une connexion qui est localement la connexion de Levi-Civita d’une métrique, mais pas globalement. Le relèvement d’une telle connexion au revêtement universel de la variété LCP est la connexion de L-C d’une métrique produit, donnant sont nom à la structure.

Dans cet exposé, on décrira les propriétés fondamentales de ces structures, et on expliquera comment se construisent les exemples connus de variétés LCP, afin d’initier une classification. On étudie certains invariants naturels, et on exhibe également un lien avec la théorie des corps de nombres.

Abstract : The locally conformally product structures (LCP) arise on compact conformal manifolds when we consider a connection which is locally but not globally the Levi-Civita connection of a metric. The lift of such a connection to the universal cover of the LCP manifold is the L-C connection of a product metric, explaining the name of this structure.

In this talk, we will expose the properties of the LCP structures and we will construct some examples of LCP manifolds in order to initiate a classification. We introduce several invariants on LCP manifolds and we show that there exists a link with number fields theory.

It is natural to ask whether one can characterize the hyperbolicity of algebraic varieties via their topology. In this talk, I will answer this question if their fundamental groups admit a linear representation. Precisely, I will give a sharp condition for the hyperbolicity of complex quasi-projective varieties via representation of fundamental groups. This fits well with the prediction of the strong Green-Griffiths-Lang conjecture. As an application, fundamental groups of special quasi-projective varieties must have nilpotent linear quotient, thus proving a conjecture by Campana in the linear case. For colleagues who have interest in the proof, I will use some extra time to briefly explain the strategy of the proof, which is based on Nevanlinna theories, and non-abelian Hodge theories in both Archimedean and non-archimedean settings. This work is based on two joint works with Brotbek-Daskalopoulos-Mese, and Cadorel-Yamanoi. 

Titre : Surfaces minimales dans les variétés hyperboliques quasi-fuchsiennes

Résumé : Nous présenterons un résultat d’unicité, dû à Karen Uhlenbeck, de surfaces minimales plongées dans les variétés hyperboliques de dimension 3 quasi-fuchsiennes.