Sur une variété riemannienne de dimension trois ou plus, nous introduisons
deux opérateurs différentiels agissant sur les (champs de) 2-tenseurs symétriques
sans trace. Le premier, un opérateur du second ordre, est un opérateur conformément
covariant, similaire au laplacien de Yamabe sur les fonctions. Il peut être utilisé pour
tester la stabilité de certaines métriques d’Einstein. Le second, un opérateur du
quatrième ordre, agit comme un générateur de tenseurs TT (2-tenseurs symétriques
sans trace et sans divergence) sur les variétés d’Einstein, car il permet de transformer
n’importe quel 2-tenseur symétrique sans trace en un tenseur TT, de nombreux tenseurs
de ce type étant ainsi obtenus. Cet opérateur peut également être utilisé pour approximer
un tenseur TT moins régulier par un tenseur TT lisse. Sur une variété Ricci-plate, la
restriction de ces deux opérateurs aux tenseurs TT correspond au laplacien de Lichnerowicz et à son carré.

titre : Imprimitivité algébrique et représentations de groupes sur des espaces de Banach

résumé : Une des applications du théorème d’imprimitivité de Mackey est la classification des représentations unitaires irréductibles d’un produit semi-direct de groupes localement compacts $K \ltimes V$, avec $V$ abélien, à partir de celle de certains sous-groupes de $K$. Dans cet exposé, nous expliquerons comment étendre cette méthode aux représentations irréductibles non-unitaires, lorsque $K$ et $V$ sont des groupes de Lie, $K$ est compact et $V$ connexe. L’idée est de “complexifier” l’action coadjointe de $K$ sur $V$ puis d’utiliser quelques faits élémentaires issus de la théorie des groupes algébriques.

Titre : Arithmétique des schémas en groupes de Bruhat-Tits sur les anneaux de Dedekind semi-locaux.

Résumé :

Soit un DVR R et groupe réductif G sur K = Frac(R). On dit que P est un schéma en groupes de Bruhat-Tits sur R si, pour tout idéal maximal m de R, P est de Bruhat-Tits (au sens usuel) sur la complétion de R par m.
Dans notre situation, un schéma en groupes de Bruhat-Tits sur un DVR complet peut être un schéma en groupes parahorique, stabilisateur d'un point, ou même le modèle de Néron lft d'un tore, ou des schémas en groupes encore plus exotiques.

La question clé de l'exposé est de comprendre quand l'application H^1(R,P) --> H^1(K,G) est injective. 
Cette question a été initialement posée par Bayer et First pour leurs études sur les groupes classiques et les ordres héréditaires. 
La célèbre conjecture de Grothendieck-Serre sur R (démontrée par Nisnevich et Guo) est le cas particulier où P est réductif sur R.

Nous posons d'abord les bases de l'étude de la question, puis démontrons que l'application est toujours injective lorsque G est semi-simple simplement connexe (pour tout P). 
Nous donnons également quelques contre-exemples lorsque l'injectivité n'est pas réalisée.
Nous donnons également une preuve simplifiée de la conjecture de Grothendieck-Serre sur R, preuve qui s'inscrit donc davantage dans une approche immobilière.

Dans cet exposé on s’intéressera aux surfaces de demi-translation et plus particulièrement aux surfaces à petits carreaux de demi-translation. Après avoir rappelé quelques résultats sur la répartition de ces surfaces dans les espaces de modules de surfaces plates, j’exposerai des résultats récents et des conjectures sur la géométrie et la combinatoire de ces surfaces en grand genre.

Dans le cas générique (strates principales des espaces de modules), ces résultats sont dus à un travail en collaboration avec V. Delecroix, P.Zograf and A. Zorich, et s’interprètent également en terme de mutlicourbes fermées sur les surfaces. J’expliquerai également ce que l’on sait faire dans le cas des strates impaires et les conjectures correspondantes (travail en commun avec E. Duryev et I. Yakovlev).

L’indice de Morse d’un point critique d’un lagrangien L est la dimension de l’espace vectoriel
maximal sur lequel la dérivée seconde D^2 L s’annule. Dans la théorie classique des variétés de Hilbert, on montre que l’indice de Morse est semi-continu inférieurement, tandis que la somme de l’indice
de Morse et de la nullité (la dimension du noyau de l’opérateur différentiel associé à la dérivée seconde) est semi-continu supérieurement.
Dans un article récent (arXiv:2212.03124) de Francesca Da Lio, Matilde Gianoca, et Tristan
Rivière, une nouvelle méthode d’estimation de l’indice de Morse est développée dans le cas des
lagrangiens invariants conformes (ce qui inclut les applications harmoniques) en dimension 2. La
preuve repose sur une analyse délicate du comportement de la dérivée seconde dans les régions des
« cous » — qui lient la surface macroscropique à ses « bulles » — ainsi qu’une estimée ponctuelle de
la solution dans ces régions.
Dans cet exposé, nous montrerons comment généraliser cette méthode à l’énergie de Willmore, un
lagrangien invariant conforme associé aux immersions d’une surface de l’espace Euclidien. Les points
critiques de l’énergie de Willmore vérifiant une équation elliptique non-linéaire d’ordre 4, certaines
étapes feront apparaître de redoutables nouvelles difficultés techniques.
Si le temps le permet, nous essaierons de montrer le caractère universel de cette méthode, qui
laisse entrevoir de nombreuses extensions possibles : fonctionnelles de type Ginzburg-Landau en dimension 2, applications bi-harmoniques en dimension 4, fonctionnelle de Yang-Mills en dimension 4,
et généralisation de ces méthodes aux problèmes de min-max.
Travail en collaboration avec Tristan Rivière (ETH Zürich).