Sur une variété riemannienne de dimension trois ou plus, nous introduisons
deux opérateurs différentiels agissant sur les (champs de) 2-tenseurs symétriques
sans trace. Le premier, un opérateur du second ordre, est un opérateur conformément
covariant, similaire au laplacien de Yamabe sur les fonctions. Il peut être utilisé pour
tester la stabilité de certaines métriques d’Einstein. Le second, un opérateur du
quatrième ordre, agit comme un générateur de tenseurs TT (2-tenseurs symétriques
sans trace et sans divergence) sur les variétés d’Einstein, car il permet de transformer
n’importe quel 2-tenseur symétrique sans trace en un tenseur TT, de nombreux tenseurs
de ce type étant ainsi obtenus. Cet opérateur peut également être utilisé pour approximer
un tenseur TT moins régulier par un tenseur TT lisse. Sur une variété Ricci-plate, la
restriction de ces deux opérateurs aux tenseurs TT correspond au laplacien de Lichnerowicz et à son carré.

titre : Imprimitivité algébrique et représentations de groupes sur des espaces de Banach

résumé : Une des applications du théorème d’imprimitivité de Mackey est la classification des représentations unitaires irréductibles d’un produit semi-direct de groupes localement compacts $K \ltimes V$, avec $V$ abélien, à partir de celle de certains sous-groupes de $K$. Dans cet exposé, nous expliquerons comment étendre cette méthode aux représentations irréductibles non-unitaires, lorsque $K$ et $V$ sont des groupes de Lie, $K$ est compact et $V$ connexe. L’idée est de “complexifier” l’action coadjointe de $K$ sur $V$ puis d’utiliser quelques faits élémentaires issus de la théorie des groupes algébriques.

Titre : Arithmétique des schémas en groupes de Bruhat-Tits sur les anneaux de Dedekind semi-locaux.

Résumé :

Soit un DVR R et groupe réductif G sur K = Frac(R). On dit que P est un schéma en groupes de Bruhat-Tits sur R si, pour tout idéal maximal m de R, P est de Bruhat-Tits (au sens usuel) sur la complétion de R par m.
Dans notre situation, un schéma en groupes de Bruhat-Tits sur un DVR complet peut être un schéma en groupes parahorique, stabilisateur d'un point, ou même le modèle de Néron lft d'un tore, ou des schémas en groupes encore plus exotiques.

La question clé de l'exposé est de comprendre quand l'application H^1(R,P) --> H^1(K,G) est injective. 
Cette question a été initialement posée par Bayer et First pour leurs études sur les groupes classiques et les ordres héréditaires. 
La célèbre conjecture de Grothendieck-Serre sur R (démontrée par Nisnevich et Guo) est le cas particulier où P est réductif sur R.

Nous posons d'abord les bases de l'étude de la question, puis démontrons que l'application est toujours injective lorsque G est semi-simple simplement connexe (pour tout P). 
Nous donnons également quelques contre-exemples lorsque l'injectivité n'est pas réalisée.
Nous donnons également une preuve simplifiée de la conjecture de Grothendieck-Serre sur R, preuve qui s'inscrit donc davantage dans une approche immobilière.

Une variété complexe est dite hyperbolique (au sens de Brody) si elle ne contient pas de courbe entière (non constante). Soit (X,D) est une paire logarithmique lisse, avec X une variété projective lisse et D un diviseur à croisements normaux. Le fibré cotangent logarithmique associé ne peut jamais être ample (on a un quotient trivial en restriction à chaque composante de D). On peut cependant montrer que si ce fibré est « le plus ample possible » (on dira qu’il est ample modulo D), alors le complémentaire X\D est hyperbolique. Plus généralement, on peut étudier la position des courbes entières via la positivité du cotangent logarithmique.

Dans cet exposé, on considérera le cas où D est un arrangement d’hyperplans en position générale dans Pⁿ. On montrera une condition géométrique sur la position des hyperplans pour que le cotangent logarithmique soit ample modulo D, en construisant explicitement des droites d’obstruction. En particulier, on verra que pour au moins 4n-2 hyperplans génériques, le cotangent logarithmique est ample modulo D.

Titre : Ordre de Bruhat affine et théorie de Kazhdan-Lusztig

La structure d’un groupe réductif (ou plus généralement de Kac-Moody) est largement controlée par son groupe de Weyl. En particulier, si G est un groupe de Kac-Moody et B un sous-groupe de Borel, la théorie de Kazhdan-Lusztig relie étroitement la géométrie de la variété de drapeaux G/B avec la structure de Coxeter de W.
Si l’on étudie G au dessus d’un corps discrètement valué, comme les corps p-adiques, on peut remplacer B par le groupe d’Iwahori I pour prendre en compte l’existence d’une valuation. Le groupe de Weyl doit être remplacé par une affinisation W^+. Lorsque G est un groupe réductif, W^+ est encore un groupe de Coxeter ce qui permet d’étendre la théorie de Kazhdan-Lusztig à la variété de drapeaux affines G/I. Ce n’est plus vrai si G est un groupe de Kac-Moody général, en particulier il n’y a pas d’ordre de Bruhat naturel sur W^+. Néanmoins en 2018, D. Muthiah et D. Orr ont pu définir une relation d’ordre et une longueur associée sur W^+ analogue aux ordres de Bruhat. Dans cet exposé, je présenterais plusieurs propriétés de cet ordre que nous avons obtenues avec Auguste Hébert et, si le temps le permet, j’expliquerais leur importance pour la construction d’une théorie de Kazhdan-Lusztig adaptée à ce cadre.

L’objectif de cet exposé est de présenter la construction de Kuga-Satake qui associe à toute structure de Hodge de type K3 une structure de Hodge de poids 1. Dans l’exposé nous introduirons les algèbres de Clifford et rappellerons le lien entre structures de Hodge et représentations avant de présenter la construction de Kuga-Satake. Nous terminerons en illustrant cette construction dans le cas des surfaces K3 de Kummer.

The Steklov eigenvalue problem is an eigenvalue problem for an operator which is defined in the boundary of a domain. Since the operator is nonlocal, the eigenvalues depend on both the geometries of the interior and the boundary of the domain. In this talk, we consider the Steklov-Dirichlet eigenvalue problem in eccentric annuli and related problems. We obtain a lower bound of the first Steklov-Dirichlet eigenvalues of the eccentric annuli by analyzing the first eigenvalues if the distance between the boundary components are sufficiently close. This is based on joint work with Jiho Hong and Mikyoung Lim.