titres et résumés à venir

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Geometric methods in computational complexity

Title: Random walks on affine buildings of type \tilde{A}_2.

Summary:

Let $G$ be a group acting on a building $X$ of type $\tilde{A}_2$ and let ${Z_n}$ be a random walk on the group G, generated by an admissible measure $\mu$. The purpose of the talk is to investigate some properties of the measured dynamical system ${Z_n o}$, for $o$ a point of the building $X$. Using tools from boundary theory and the geometry of such buildings, we can prove that there exists a unique $\mu$-stationary measure supported on the chambers of the spherical building at infinity. If time allows it, we will discuss some applications about the asymptotic properties of the random walk ${Z_n o}$. I will try to introduce most notions: (affine) buildings and their boundaries, random walks and stationary measures, the Poisson-Furstenberg boundary and some of its ergodic properties.

Support cohomologique des modules basculants pour les groupes algébriques réductifs

Il est connu depuis les années 1970 que de nombreuses informations concernant la théorie des représentations des groupes algébriques réductifs sur des corps de caractéristique positive peuvent s’exprimer en terme de la combinatoire du groupe de Weyl affine associé. Une forme subtile de cette relation a été conjecturée par Humphreys dans les années 1990, qui exprime le support cohomologique des représentations basculantes indécomposables en termes d’orbites nilpotentes associées aux cellules de Kazhdan-Lusztig bilatères (via une bijection de Lusztig). Dans cet exposé je présenterai des résultats obtenus en direction de cette conjecture, en collaboration avec Pramod Achar et William Hardesty.

Un espace métrique est dit injectif lorsque toute famille de boules s’intersectant deux à deux s’intersecte globalement. Nous montrerons en quoi cette définition simple est riche de conséquences typiques de la courbure négative. De plus, nous présenterons de nombreux groupes ayant une action par isométries intéressante sur un tel espace : les groupes hyperboliques, les groupes de tresses, les groupes linéaires…

Title: The E3-structure on the spherical Hecke category
of a reductive group

Abstract: let G be a reductive group over the complex numbers, e.g. GLn,C . The
notion of affine Grassmannian associated to G leads to the introduction of
a monoidal dg/∞-category Sph(G), called the spherical category of G, which
plays an important role in the Geometric Langlands program. For example,
its behaviour provides important constraints in the formulation of the Geometric Langlands Conjecture.

This monoidal ∞-category is not symmetric
monoidal (although its homotopy category is), but it admits a t-structure whose
heart is symmetric monoidal: more precisely, by the Geometric Satake Theorem
(Ginzburg, Mirkovic–Vilonen) the heart is monoidal-equivalent to the category
of representations of the Langlands dual of G with its (symmetric monoidal)
tensor product.
In this talk, I will present how to upgrade the existing E1 -monoidal struc-
ture on Sph(G) to an E3 -monoidal one, which formally recovers the symmetric
monoidal structure of the heart. The construction implements ideas of Jacob
Lurie and uses a topologically-flavoured presentation of Sph(G), namely as an
∞-category of equivariant constructible sheaves over a stratified space.

La méthode conforme et ses variantes sont les principaux outils pour résoudre les équations de contrainte d’Einstein et ont été très fructueuses dans la construction de grandes familles de données initiales. Cependant, contrairement à ce que son nom suggère, cette méthode n’est pas covariante conforme. Je vais clarifier ce point en exposant un exemple explicite montrant qu’elle ne peut en aucun cas être covariante et j’expliquerai exactement pourquoi un tel échec est un problème.

Titre : Autour d'un théorème de Deligne-Lusztig

Résumé : Soit $G$ un groupe réductif sur un corps fini $\mathbb{F}_q$.
 La théorie des représentations du groupe $G(\mathbb{F}_q)$ est souvent
 comprise en étudiant la cohomologie des variétés de Deligne-Lusztig. 
Le théorème fondamental qui motive la construction initiale de Deligne et 
Lusztig est que toutes les représentations 
irréductibles de $G(\mathbb{F}_q)$ apparaissent dans la cohomologie
 de ces variétés. 
Dans cet exposé, je presenterai une simplification de la
 preuve de ce théorème et je placerai cette construction 
au sein d'un programme dont le but est de reconstruire la 
théorie par l'introduction systématiques de méthodes 
géométriques et catégoriques. 

Titre et résumés à venir.

Dans cet exposé, je présenterai des résultats sur le comportement asymptotique d’un invariant associé à certaines actions de groupes par transformations de Möbius. Il s’agit de groupes, dit de Schottky, qui fournissent une théorie d’uniformisation pour les surfaces de Riemann compactes ayant l’avantage de se prolonger au cadre non archimédien. Pour certaines familles, y compris les groupes de réflexion de Schottky, nous obtenons une formule exacte pour le taux asymptotique de décroissance logarithmique de la dimension de Hausdorff de leurs ensembles limites.
Le cadre non archimédien est un outil crucial ici : l’invariant en question varie continûment sur un espace englobant à la fois des corps archimédiens et non (et c’est ces derniers qui apparaissent à “la limite”). Il s’agit d’un travail en commun avec Nguyen-Bac Dang.