A fundamental result in Complex Geometry is the Kobayashi-Hitchin correspondence, stating that a holomorphic vector bundle on a Kähler manifold is poly-stable (as defined by Mumford, Takemoto) if and only if it admits a Hermitian metric solving the Hermite-Einstein equation. It has now become clear that there exist many possible different stability notions for vector bundles, that are of great interest in Algebraic Geometry and String Theory. It is natural to wonder if these stabilities are also tied to the existence of Hermitian metrics with special curvature properties. In this talk, based on joint work with Julien Keller (arXiv:2405.03312[math.DG]), we will consider a class of “polynomial” equations for the curvature of rank 2 holomorphic vector bundles on compact projective surfaces, and a corresponding class of polynomial stability conditions for these bundles. We will then explain how each of these stability conditions is related to the existence of a Hermitian metric satisfying the corresponding equation. This refines and partially confirms a conjectural correspondence between Bridgeland stability conditions and PDEs on holomorphic vector bundles, formulated by Dervan, McCarthy, and Sektnan.

Sur une surface hyperbolique, une géodésique fermée est dite simple si elle ne s’intersecte pas, et une multi-géodésique est une union disjointe des géodésiques fermées simples. Dans cet exposé, j’expliquerai comment tirer une multi-géodésique au hasard, et tenterai de répondre à la question suivante : à quoi ressemble-t-elle une multi-géodésique aléatoire sur une surface hyperbolique de grand genre ?

On verra qu’elle ressemble à une permutation aléatoire, et en particulier, sur une surface hyperbolique de genre très grand, les longueurs moyennes des trois composantes les plus longues d’une multi-géodésique aléatoire sont approximativement 75,8%, 17,1%, et 4,9%, respectivement, de la longueur totale. Il s’agit d’un travail en commun avec Vincent Delecroix.

Let A be an abelian variety and G be a finite group acting on
A. If G acts freely in codimension 1, then the quotient A/G has
numerically trivial canonical divisor. A natural question is then
whether A/G admits a crepant resolution: under the additional assumption
that G acts freely in codimension 2, such a crepant resolution X would
be remarkable Calabi-Yau manifold (as it would have a nef and big
divisor D such that c_2(X)\cdot D^{n-2} = 0). Classifying such
quotients, étale in codimension 2, that admit a simply-connected crepant
resolution, was implemented by Oguiso in dimension 3 in the 90ies. We
extend his results to dimension 4 and 5, and give partial results in
arbitrary dimension.

Espaces fibrés de Mori de dimension 4 et leur groupe d’automorphismes.

Dans cet exposé j’expliquerai la relation entre l’étude des espaces fibrés de Mori rationnels avec l’action d’un groupe et l’étude des sous-groupes maximaux connexes du groupe de Cremona.
Dans le cas d’un espace fibré de Mori f:X->B sur une courbe rationnelle B, je présenterai un résultat d’existence de fermés f-horizontaux invariants par l’action du groupe d’automorphismes de X ainsi que des exemples.

Il s’agit d’un travail en collaboration avec Jérémy Blanc.

Dans cet exposé j’introduirai une variété affine associée à un groupe de Weyl affine dont les points entiers sont en bijection avec les éléments du groupe. Par la suite, je donnerai certaines conséquences combinatoires en mettant l’accent sur le type A.

Un théorème de décomposition pour les variétés de Poisson holomorphes

Weinstein a montré que toute variété de Poisson holomorphe est localement le produit d’une variété symplectique et d’une variété de Poisson dont le rang est nul au point considéré. En particulier, toute variété de Poisson possède un feuilletage naturel dont les feuilles sont des variétés symplectiques. Dans un travail en collaboration avec Jorge Pereira, Brent Pym et Frédéric Touzet, nous montrons que si une variété de Poisson compacte kählérienne X a une feuille compacte L dont le groupe fondamental est fini alors, à un revêtement étale fini près, X est le produit du revêtement universel de L et d’une autre variété de Poisson.

https://dev-iecl.univ-lorraine.fr/events/titre-a-venir-99/

Programme des Journées Nancéiennes de Géométrie 2022

Les Journées Nancéiennes de Géométrie sont organisées par l’équipe de Géométrie de l’IECL depuis 2002. Elles rassemblent durant deux jours à la fois des experts internationaux de très haut niveau et de jeunes mathématiciens, autour de thèmes variés qui illustrent une des thématiques de recherche en Géométrie en Lorraine. Les orateurs sont choisis à la fois parmi les jeunes et les seniors du domaine.

Mardi 5 juillet : Amphi 7, Bâtiment VG jusqu’à 16h, Colloquium à  l’IECL à 16h30

• 10h30-11h : accueil des participants (hall de l’amphi 8, Bâtiment VG, 1er étage)
  
• 11h-12h : exposé 1 : Federica Fanoni : Isospectral hyperbolic surfaces of infinite genus
• 12h-13h30 : déjeuner CROUS
  
• 13h45-14h45 : exposé 2 : Alessandro Savo : Overdetermined PDE’s and isoparametric foliations
• 15h-16h : exposé 3 : Vincent Pecastaing : Conformal groups of compact simply-connected Lorentzian manifolds
• 16h-16h30 : pause (IECL, 2ème étage)
  
• 16h30-17h30 : Colloquium : Hugo Parlier : Playing puzzles on translation surfaces
• 20h : diner en centre ville

Mercredi 6/07 : Salle de Conférences de l’IECL

• 9h30-10h30 : exposé 5 : Hugo Parlier : Ordering curves on hyperbolic surfaces
• 10h30-11h : pause (IECL, 2ème étage)
  
• 11h-12h : exposé 6 : Laura Monk : Small closed geodesics on a typical hyperbolic surface
• 12h-13h30 : déjeuner CROUS
  
• 13h45-14h45 : exposé 7 : Rabah Souam : Stable capillary hypersurfaces with planar boundaries

Résumé des exposés

Comité d’organisation :

Benoit Daniel, Nicolas Ginoux, Jean-François Grosjean, Georges Habib, Julien Maubon, Paola Schneider, Samuel Tapie

Soutiens :

Institut Elie Cartan de Lorraine – ANR projet CCEM – Pôle AM2I de l’Université de Lorraine

In this talk we present the construction of some moduli spaces of semistable sheaves over a smooth projective variety (over the field of complex numbers). We will use a notion of stability for pure coherent sheaves, which lies in-between Gieseker- and slope-stability. This is defined with respect to the Hilbert polynomial of the sheaf, truncated up to a certain degree. We call it l-(semi)stability, where l marks the level of truncation.

Before we proceed with the construction, we give a restriction theorem for l-(semi)stability. This applies in particular to Gieseker-semistable sheaves and generalizes the well-known restriction theorems of Mehta and Ramanathan. With this ingredient in place, we construct moduli spaces of l-semistable sheaves in higher dimensions. Our construction is based on ideas of Le Potier and Jun Li. In the torsion-free case, we recover a result of Huybrecths-Lehn over surfaces and of Greb-Toma in higher dimensions.

Soit G un groupe algébrique complexe semi-simple, qui agit sur sont algèbre de Lie L(G) via l’action adjointe, et soit X l’adhérence d’une orbite nilpotente dans L(G). Dans cet exposé on va s’intéresser aux formes réelles de X, c’est-à-dire aux variétés algébriques réelles W munies d’une action d’un groupe algébrique réel F telles que F_\C soit isomorphe à G comme groupe algébrique et W_C soit isomorphe à X comme G-variété. Il s’agit d’un travail en commun avec Michael Bulois et Lucy Moser-Jauslin (arXiv:2106.04444).