Séminaires

La longueur stable des commutateurs (scl) est une mesure de la complexité homologique des éléments d’un groupe. Elle a de nombreux liens avec diverses notions en théorie des groupes et en topologie géométrique, par exemple les quasimorphismes, la cohomologie bornée et les actions sur le cercle. La première partie de cet exposé sera une introduction générale à scl et à certains de ces liens.

Dans la seconde partie, on se focalisera sur les trous spectraux et leur relation avec les notions de courbure négative en théorie des groupes. On présentera une méthode géométrique pour obtenir des résultats de trous spectraux, menant à une nouvelle preuve d’un théorème de Heuer sur le trou spectral des groupes d’Artin rectangulaires (RAAG). Nous expliquerons l’idée de cette méthode et, si le temps le permet, montrerons son fonctionnement dans le cas particulier des groupes libres.

Geometric methods in computational complexity

In this talk we will discuss the connection between combinatorial properties of minimally self-intersecting curves on a surface S and the geometric behaviour of geodesics on S when S is endowed with a Riemannian metric. In particular, we will explain the interplay between a smoothing, which is a type of surgery on a curve that resolves a self-intersection, and k-systoles, which are shortest geodesics having at least k self-intersections, and we will present some results that partially elucidate this interplay. There will be lots of pictures. Based on joint work with Max Neumann-Coto.

Smooth complex Fano varieties form a central class of projective varieties in algebraic geometry, whose classification is currently complete only in dimensions up to three. The Lefschetz defect is an invariant that has proved to offer an effective perspective in the study of smooth complex Fano varieties in arbitrary dimension. Recent breakthroughs show that when the Lefschetz defect is greater than two, one obtains strong restrictions on the geometry of the variety. In this talk, I focus on smooth Fano varieties with Lefschetz defect equal to two that arise from a specific construction introduced by C. Casagrande and S. Druel, together with some natural variants. We show that most Fano threefolds with defect two can be described via this construction. Moreover, in dimension four we complete the classification of all Fano varieties with defect two obtained in this way, resulting in a total of 173 distinct families.

Transformée à rayons géodésiques et problèmes inverses magnétiques

En 2022, Delecroix-Goujard-Zograf-Zorich ont produit des estimées, pour les surfaces de grand genre, des fréquences relatives de multi-courbes simples. En particulier, leurs travaux montrent que la fréquence relative des courbes séparantes et non-séparantes tend vers 0 quand le genre grandit : en grand genre les courbes simples sont génériquement non-séparantes. Dans cet exposé on s’intéressera à des questions similaires pour des courbes avec auto-intersections. Comment exprimer leur fréquence ? Comment celle-ci se comporte-t-elle en grand genre ? Que dire des fréquences relatives de deux courbes données ? A quoi ressemble une courbe générique avec auto-intersections ? Ceci est un travail en collaboration avec M.Liu, K. Rafi, et J.Souto.

Titre : Arithmétique des schémas en groupes de Bruhat-Tits sur les anneaux de Dedekind semi-locaux.

Résumé :Soit un DVR R et groupe réductif G sur K = Frac(R). On dit que P est un schéma en groupes de Bruhat-Tits sur R si,
 pour tout idéal maximal m de R, P est de Bruhat-Tits (au sens usuel) sur la complétion de R par m. Dans notre situation,
 un schéma en groupes de Bruhat-Tits sur un DVR complet peut être un schéma en groupes parahorique, stabilisateur d'un point,
 ou même le modèle de Néron lft d'un tore, ou des schémas en groupes encore plus exotiques. La question clé de l'exposé est
 de comprendre quand l'application H^1(R,P) --> H^1(K,G) est injective. Cette question a été initialement posée par Bayer et
 First pour leurs études sur les groupes classiques et les ordres héréditaires. La célèbre conjecture de Grothendieck-Serre
 sur R (démontrée par Nisnevich et Guo) est le cas particulier où P est réductif sur R. Nous posons d'abord les bases de
 l'étude de la question, puis démontrons que l'application est toujours injective lorsque G est semi-simple simplement 
connexe (pour tout P). Nous donnons également quelques contre-exemples lorsque l'injectivité n'est pas réalisée. Nous 
donnons également une preuve simplifiée de la conjecture de Grothendieck-Serre sur R, preuve qui s'inscrit donc davantage 
dans une approche immobilière.

Titre : Algèbres quantiques affines et schémas de bandes.

Résumé : L’objectif de cet exposé est d’introduire une nouvelle famille d’objets géométriques, appelés schémas de bandes, et d’explorer leurs liens avec la théorie des représentations des algèbres quantiques affines et de leurs versions décalées. On verra que les schémas de bandes permettent de donner une construction géométrique des anneaux de Grothendieck de certaines catégories de représentations des algèbres quantiques affines, ainsi que de démontrer une conjecture de Frenkel et Reshetikhin (1998) donnant une interprétation géométrique du morphisme des q-caractères. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Bernard Leclerc.