Séminaires

Bach-flat metrics are a natural generalization of Einstein and self-dual metrics in dimension four and arise as critical points of the Weyl energy.
Such energy is conformally invariant and it is naturally defined for Riemannian metrics of Sobolev class W 2,q with q > 2. In this talk, we will show that Bach- flat metrics of such Sobolev class are indeed smooth up to global conformal diffemorphisms. Furthermore, we will establish regularity properties of metrics whose Bach tensor is controlled in suitable Sobolev spaces, and analogue results in higher dimensions. This is based on joint work with Rodrigo Avalos and Albachiara Cogo.

Titres et résumés à venir.

Titre : Arithmétique des schémas en groupes de Bruhat-Tits sur les anneaux de Dedekind semi-locaux.

Résumé :

Soit un DVR R et groupe réductif G sur K = Frac(R). On dit que P est un schéma en groupes de Bruhat-Tits sur R si, pour tout idéal maximal m de R, P est de Bruhat-Tits (au sens usuel) sur la complétion de R par m.
Dans notre situation, un schéma en groupes de Bruhat-Tits sur un DVR complet peut être un schéma en groupes parahorique, stabilisateur d'un point, ou même le modèle de Néron lft d'un tore, ou des schémas en groupes encore plus exotiques.

La question clé de l'exposé est de comprendre quand l'application H^1(R,P) --> H^1(K,G) est injective. 
Cette question a été initialement posée par Bayer et First pour leurs études sur les groupes classiques et les ordres héréditaires. 
La célèbre conjecture de Grothendieck-Serre sur R (démontrée par Nisnevich et Guo) est le cas particulier où P est réductif sur R.

Nous posons d'abord les bases de l'étude de la question, puis démontrons que l'application est toujours injective lorsque G est semi-simple simplement connexe (pour tout P). 
Nous donnons également quelques contre-exemples lorsque l'injectivité n'est pas réalisée.
Nous donnons également une preuve simplifiée de la conjecture de Grothendieck-Serre sur R, preuve qui s'inscrit donc davantage dans une approche immobilière.

La conjecture du cône mobile de Morrison–Kawamata prédit que, pour certaines variétés de type Calabi–Yau, l’action du groupe des pseudo-automorphismes sur le cône mobile modifié admet un domaine fondamental rationnel polyédral.

Dans cet exposé, je présenterai une version relative de cette conjecture pour des fibrations K-triviales. Le résultat principal concerne des fibrations dont la fibre très générale est un quotient, par un groupe fini d’automorphismes, d’un produit d’une variété abélienne et de variétés irréductibles holomorphiquement symplectiques projectives de types connus. Nous verrons que, dans ce cadre, la conjecture du cône mobile relative vaut sous forme faible. J’expliquerai également comment les méthodes de preuve conduisent à la finitude des modèles minimaux relatifs de telles fibrations.

titre : Imprimitivité algébrique et représentations de groupes sur des espaces de Banach

résumé : Une des applications du théorème d’imprimitivité de Mackey est la classification des représentations unitaires irréductibles d’un produit semi-direct de groupes localement compacts $K \ltimes V$, avec $V$ abélien, à partir de celle de certains sous-groupes de $K$. Dans cet exposé, nous expliquerons comment étendre cette méthode aux représentations irréductibles non-unitaires, lorsque $K$ et $V$ sont des groupes de Lie, $K$ est compact et $V$ connexe. L’idée est de « complexifier » l’action coadjointe de $K$ sur $V$ puis d’utiliser quelques faits élémentaires issus de la théorie des groupes algébriques.

Sur une variété riemannienne de dimension trois ou plus, nous introduisons
deux opérateurs différentiels agissant sur les (champs de) 2-tenseurs symétriques
sans trace. Le premier, un opérateur du second ordre, est un opérateur conformément
covariant, similaire au laplacien de Yamabe sur les fonctions. Il peut être utilisé pour
tester la stabilité de certaines métriques d’Einstein. Le second, un opérateur du
quatrième ordre, agit comme un générateur de tenseurs TT (2-tenseurs symétriques
sans trace et sans divergence) sur les variétés d’Einstein, car il permet de transformer
n’importe quel 2-tenseur symétrique sans trace en un tenseur TT, de nombreux tenseurs
de ce type étant ainsi obtenus. Cet opérateur peut également être utilisé pour approximer
un tenseur TT moins régulier par un tenseur TT lisse. Sur une variété Ricci-plate, la
restriction de ces deux opérateurs aux tenseurs TT correspond au laplacien de Lichnerowicz et à son carré.

La longueur stable des commutateurs (scl) est une mesure de la complexité homologique des éléments d’un groupe. Elle a de nombreux liens avec diverses notions en théorie des groupes et en topologie géométrique, par exemple les quasimorphismes, la cohomologie bornée et les actions sur le cercle. La première partie de cet exposé sera une introduction générale à scl et à certains de ces liens.

Dans la seconde partie, on se focalisera sur les trous spectraux et leur relation avec les notions de courbure négative en théorie des groupes. On présentera une méthode géométrique pour obtenir des résultats de trous spectraux, menant à une nouvelle preuve d’un théorème de Heuer sur le trou spectral des groupes d’Artin rectangulaires (RAAG). Nous expliquerons l’idée de cette méthode et, si le temps le permet, montrerons son fonctionnement dans le cas particulier des groupes libres.