In this talk, I will present recent joint work with S.~Matsumura, J.~Wang, and X.~Wu on the structure of compact Kähler manifolds whose anti-canonical bundle is nef. We establish a general structure theorem in the Kähler setting, showing that X admits a locally trivial fibration whose fibers are rationally connected and whose base has vanishing first Chern class. Our approach extends the method of Cao–Höring from the projective to the Kähler case, requiring new tools such as a flatness criterion for pseudo-effective sheaves and a refined analysis of direct image sheaves equipped with singular Hermitian metrics. I will also discuss the application, about the generalization of the Beauville–Bogomolov decomposition.

An important family of solutions to the Einstein vacuum equations is given by the Kerr metrics, which describe rotating black holes. In this talk, I will present some important geometric properties of these spacetimes relevant to the study of classical field equations such as the scalar waves, electromagnetism and linearized gravity. As observed by Teukolsky, by exploiting a special algebraic property of the spacetime, it is possible to decouple certain components of the fields from the rest of the system, leading to the so-called Teukolsky equation. Solutions of this equation can then be analyzed to recover information about the full system.

Mori dream spaces are a special kind of varieties introduced by Hu and Keel in 2000 that enjoy very good properties with respect to the minimal model program. In this talk we explore when blowups of P^3 along smooth curves are Mori dream spaces, generalizing an early example of A. Küronya.  This is joint work with Sokratis Zikas.

Geometric methods in computational complexity

The Cremona group of rank N over the field K is the group of birational transformations of the projective N-space that are defined over K. Cremona groups have been studied for a long time but especially the ones of rank 3 and higher remain mysterious, even over the complex numbers. Since 2019, we know that these have non-trivial normal subgroups, due to the construction of quotients by Blanc, Lamy and Zimmermann. In this talk, I will present the following result, obtained in joint work with Blanc and Yasinsky: “Let N be at least 4. Then any group (of cardinality at most the cardinality of the complex numbers) is a quotient of the complex Cremona group of rank N.” The proof uses the Sarkisov program from birational geometry, and Severi-Brauer surfaces from arithmetic geometry.

En 2020, Dey et Kapovich ont montré que le quotient de la boule par un sous-groupe discret et sans-torsion de PU(n,1) est une variété de Stein dès lors que le groupe est convexe-cocompact et que son exposant critique est inférieur à 2. Ils conjecturent que le résultat reste vrai sans l’hypothèse de convexe-cocompacité. Je décrirai des résultats qui impliquent que cette conjecture est vraie pour les groupes géométriquement finis de PU(n,1). J’expliquerai également pourquoi, comme prédit par une autre conjecture de Dey et Kapovich, les seuls quotients de la boule par des sous-groupes convexes-cocompacts d’exposant critique égal à 2 qui ne sont pas des variétés de Stein sont les quotients par un groupe Fuchsien complexe.

On a beaucoup étudié les surfaces minimales complètes de courbure totale finie de R3 mais beaucoup moins celles de R4. Je rappellerai les outils de base dans R4 et donnerai des exemples de plans minimaux. Puis je me concentrerai sur le cas des tores minimaux de courbure totale -8π avec un  seul bout. Le tore carré de Chen-Gackstatter est l’unique exemple d’un tel tore dans R3 mais dans R4  on peut construire des exemples sur tous les tores rectangulaires. Je discuterai la stratégie de preuve et j’indiquerai les questions restant ouvertes. C’est un travail en collaboration avec Marc Soret.

Two decades ago, Katzarkov et al. conjectured that a small deformation of a projective variety with big fundamental group still has big $ \pi_1 $. This conjecture was previously known only for surfaces and in some partial cases for threefolds due to Claudon. Recently, in joint work with Mese and Wang, we proved this conjecture when $ \pi_1 $ is linear. In this talk, I will outline the main ideas of the proof and discuss related results on Campana’s broader conjecture concerning the deformation invariance of $ \Gamma $-dimension.

En 1913, De Franchis a démontré que le nombre d’applications holomorphes surjectives de $X$ vers $Y$ est fini lorsque $X$ et $Y$ sont des surfaces de Riemann compactes et que $Y$ est de genre au moins 2.

Ce résultat a été généralisé en dimension supérieure par Noguchi pour certaines variétés hyperboliques et Campana a établi un énoncé analogue pour les courbes orbifoldes hyperboliques.

Dans cet exposé, nous introduirons différentes notions liées à l’hyperbolicité et aux orbifoldes, afin de comprendre certaines propriétés de finitude pour les applications holomorphes entre variétés hyperboliques ou entre paires orbifoldes hyperboliques, généralisant ainsi le théorème de De Franchis.

Théorèmes de transfert pour la cohomologie galoisienne et conjecture de Serre II

La première partie de l’exposé sera consacrée à une présentation générale et accessible de la conjecture de Serre II, prédisant l’existence de points rationnels sur des torseurs sous certains groupes linéaires quand on travaille sur des corps de petite dimension cohomologique.

Dans la deuxième partie, je parlerai d’un travail récent avec Giancarlo Lucchini Arteche dans lequel on démontre notamment que la conjecture pour les corps de caractéristique nulle implique la conjecture pour les corps de caractéristique quelconque. Ce résultat repose notamment sur quelques théorèmes de transfert pour la dimension cohomologique des corps que j’énoncerai et expliquerai.

An elementary Mori contraction from a smooth variety $X$ is a morphism with connected fibres onto a normal variety which contracts a single extremal ray of $K_X$-negative curves. Thanks to a result by P. Ionescu and J. Wisniewsi, we know that the length of such a contraction (i.e. the minimal degree $-K_X$ can have on contracted rational curves) is bounded from above. In a paper which dates back to 2013, A. Höring and C. Novelli studied elementary Mori contractions of maximal length, that is, elementary Mori contractions for which the upper bound is met. Their main result exhibits the structure of a projective bundle for the locus of positive-dimensional fibres up to a birational modification. In my talk, I will move to the submaximal case, in other words the case where the length equals its upper bound minus one, and focus on the divisorial case.

Les variétés de Fano sont des variétés projectives complexes avec premier caractère de Chern positif. Cette condition de positivité a des implications profondes en géométrie et en arithmétique. Par exemple, les variétés de Fano sont recouvertes par des courbes rationnelles , et les familles de variétés de Fano sur des bases unidimensionnelles admettent toujours des sections holomorphes. Ces dernières années, il y a eu un effort important pour définir des analogues supérieurs à la condition de Fano, qui devraient présenter des versions renforcées de propriétés des variétés de Fano. Dans cet exposé, je parlerai donc des “variétés de Fano supérieures” définies en termes de positivité des autres caractères de Chern. Ce travail est en collaboration avec Carolina Araujo, Roya Beheshti, Ana-Maria Castravet, Kelly Jabbusch, Svetlana Makarova et Nivedita Viswanathan.

Extension of Differential Forms, Uniformization, Miyaoka-Yau inequalities and the topological characterization of certain klt varieties (with Daniel Greb and Thomas Peternell)

The first part of this overview talk begins with a non-technical overview of minimal model theory, explaining why any classification theory of complex-projective manifolds always needs to consider singular varieties. The talk describes the relevant singularities in brief, mentions methods that have been developed to study them and will ideally convey an idea what classification results one might hope to expect.

The second part describes some of the theory that has been developed over the last years and mentions some of the more concrete applications.

To an algebraic variety X we associate its group of birational transformations Bir(X). In this talk, we will see the following theorem: If X is an algebraic variety such that Bir(X) is isomorphic to Bir(P^n), where P^n is the n-dimensional projective space, then X is birational to P^n. In other words, the group structure of Bir(X) determines whether X is rational or not. In another direction, I will explain that Borel subgroups of Bir(X), i.e. maximal connected solvable subgroups, are of derived length <= 2 dim(X) with equality if and only if X is rational and the Borel subgroup is standard. This is joint work with Regeta and Van Santen.