Transformée à rayons géodésiques et problèmes inverses magnétiques

En 2022, Delecroix-Goujard-Zograf-Zorich ont produit des estimées, pour les surfaces de grand genre, des fréquences relatives de multi-courbes simples. En particulier, leurs travaux montrent que la fréquence relative des courbes séparantes et non-séparantes tend vers 0 quand le genre grandit : en grand genre les courbes simples sont génériquement non-séparantes. Dans cet exposé on s’intéressera à des questions similaires pour des courbes avec auto-intersections. Comment exprimer leur fréquence ? Comment celle-ci se comporte-t-elle en grand genre ? Que dire des fréquences relatives de deux courbes données ? A quoi ressemble une courbe générique avec auto-intersections ? Ceci est un travail en collaboration avec M.Liu, K. Rafi, et J.Souto.

Titre : Arithmétique des schémas en groupes de Bruhat-Tits sur les anneaux de Dedekind semi-locaux.

Résumé :Soit un DVR R et groupe réductif G sur K = Frac(R). On dit que P est un schéma en groupes de Bruhat-Tits sur R si,
 pour tout idéal maximal m de R, P est de Bruhat-Tits (au sens usuel) sur la complétion de R par m. Dans notre situation,
 un schéma en groupes de Bruhat-Tits sur un DVR complet peut être un schéma en groupes parahorique, stabilisateur d'un point,
 ou même le modèle de Néron lft d'un tore, ou des schémas en groupes encore plus exotiques. La question clé de l'exposé est
 de comprendre quand l'application H^1(R,P) --> H^1(K,G) est injective. Cette question a été initialement posée par Bayer et
 First pour leurs études sur les groupes classiques et les ordres héréditaires. La célèbre conjecture de Grothendieck-Serre
 sur R (démontrée par Nisnevich et Guo) est le cas particulier où P est réductif sur R. Nous posons d'abord les bases de
 l'étude de la question, puis démontrons que l'application est toujours injective lorsque G est semi-simple simplement 
connexe (pour tout P). Nous donnons également quelques contre-exemples lorsque l'injectivité n'est pas réalisée. Nous 
donnons également une preuve simplifiée de la conjecture de Grothendieck-Serre sur R, preuve qui s'inscrit donc davantage 
dans une approche immobilière.

Titre : Algèbres quantiques affines et schémas de bandes.

Résumé : L’objectif de cet exposé est d’introduire une nouvelle famille d’objets géométriques, appelés schémas de bandes, et d’explorer leurs liens avec la théorie des représentations des algèbres quantiques affines et de leurs versions décalées. On verra que les schémas de bandes permettent de donner une construction géométrique des anneaux de Grothendieck de certaines catégories de représentations des algèbres quantiques affines, ainsi que de démontrer une conjecture de Frenkel et Reshetikhin (1998) donnant une interprétation géométrique du morphisme des q-caractères. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Bernard Leclerc.

In this talk, I will present the meeting of different dynamical systems: tiling billiards, the wind-tree model and the Eaton lenses. The three of them are motivated by physics.
In the beginning of the 2000’s, physicists have conceived metamaterials with negative index of refraction. Tilling billiards’ trajectories consist of light rays moving in an arrangement of metamaterials with opposite index of refraction. The wind-tree model was introduced by Paul and Tatyana Ehrenfest to study a gaz: a particle is moving in a plane where obstacles are periodically placed, on which the particle bounces. The Eaton lenses are a periodic array of lenses in the plane, in which we consider a light ray that is reflected each time it crosses a lens.
After having introduced these dynamical systems, I will consider a mix of them: an arrangement of rectangles in the plane, like in the wind-tree model, but made of metamaterials, like for tiling billiards. I study the trajectories of light in this plane. They are refracted each time they cross a rectangle.
Using dynamics on half-translation surfaces and their moduli space, I show that these trajectories are trapped in a strip, for almost every parameter. This behavior is similar to the one of the Eaton lenses.

A couple of years ago, Ammann, Kröncke and Müller proposed a construction producing initial data sets for spacetimes with lightlike parallel spinor as studied by Baum, Leistner and Lischewski in the context of Lorentzian special holonomy. The input data for the AKM-construction essentially consists of a curve in the moduli space of Ricci-flat metrics on a closed manifold Q together with a parallel spinor for a metric representing its starting point. It remained unclear, however, to which extent all initial data for spacetimes with lightlike parallel spinor can be obtained by this construction for a fixed codimension 2 topology Q. In this talk, based on joint work with Bernd Ammann and Klaus Kröncke, we seek to improve the construction. It turns out that there is mainly only one additional freedom: to prescribe a single geometrically meaningful scalar function.

It is known since Wierzba–Wisniewski’s work in 2003 that a birational map between holomorphic symplectic fourfolds is a composition of Mukai flops. Hu and Yau conjectured that in any dimension, a birational map is a composition of Mukai elementary transformations in codimension two, that is, maps which locally look like a product of a 4-dimensional Mukai flop and the identity on a polydisc, “up to codimension three or higher”. Call  a birational map f from X to X’ a “Hu-Yau transformation” , if there are proper closed subsets Z, Z’ of codimension three or higher such that f induces a Mukai transformation in codimension two between X\Z and X’\Z’. We show that any birational map between irreducible holomorphic symplectic manifolds is a product of Hu-Yau transformations, and give an example showing that a stronger version of the conjecture cannot be true: it is in general not possible to decompose a given map into a product of Mukai elementary transformation after discarding some codimension three closed subsets from the source and the target.

La conjecture standard de type Hodge prédit la positivité de certaines formes d’intersections sur les cycles algébriques. Cette conjecture est connue en caractéristique 0 via les relations de Hodge-Riemann bilinéaires. Dans cet exposé, on s’intéressera à des nouveaux cas de la conjecture en caractéristique positive, en particulier au cas des puissances de variétés abéliennes de dimension 3.