We discuss the method of picking a convenient coordinate system adapted to vector fields. Let $X_1, …, X_q$ be either real or complex $C^1$ vector fields. We discuss the question of when there is a coordinate system in which the vector fields are smoother (e.g. $C^m$ or $C^\infty$, or real analytic). By answering this in a quantitative way, we obtain coordinate charts which can be used as generalized scaling maps. When the vector fields are real this is joint work with Stovall, and continues in the line of quantitative sub-Riemannian geometry initiated by Nagel, Stein, and Wainger. When the vector fields are complex one obtains a geometry with more structure which can be thought of as “sub-Hermitian”.

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On va donner une introduction gentille aux aspects arithmétiques en géométrie non-commutative, notamment les systèmes de Bost-Connes. De plus, on va expliquer la nécessité d’autres outils.

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Dans cet exposé on expliquera comment reformuler un problème d’indice et construire pour les triplets spectraux tordus (ou (sigma)-triplet spectraux) qui ont été introduits il y quelques années par Alain Connes et Henri Moscovici. Il y a de nombreux exemples de triplets spectraux tordus, notamment dans le contexte de la géométrie conforme. On expliquera comment utiliser ceci pour reformuler la formule locale de l’indice en géométrie conforme, c.à .d. en présence d’un groupe conforme de difféomorphismes préservant une structure conforme. Ensuite on expliquera comment reformuler l’inégalite de Vafa-Witten pour les triplets spectraux tordus. En particulier, cela permet d’avoir une version de cette inégalite en géométrie conforme. Un ingrédient important est une notion de dualité de Poincaré pour les triplets spectraux tordus qui permet d’avoir un nouveau point de vue sur les triplets spectraux tordus.

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