La suite d’Oldenburger-Kolakoski est l’unique mot infini sur l’alphabet {1,2} qui commence par un “1” et est point fixe de l’opérateur de dérivation. En 1991, M.S. Keane conjecture que cette suite admet une fréquence d’1/2 pour la lettre “1”.

Les suites dites “auto-descriptives” sont une généralisation du mot d’Oldenburger-Kolakoski. Ces suites sont en bijection naturelle avec l’ensemble de toutes les suites sur l’alphabet {1,2} : une suite auto-descriptive est dite “dirigée” par son homologue naturelle sur {1,2}. Est-il possible d’inférer les fréquences de lettres de l’une à partir de l’autre ?

Je présenterai dans cet exposé deux approches à cette question : l’une probabiliste (Boisson, Jamet, Marcovici — 2024), l’autre analytique (Akiyama, Jamet, Marcovici, T.C. — 2024).

Many arguments in mathematics rely on the introduction of an auxiliary function that is compactly supported. Sometimes this compactly supported function is required to satisfy some additional regularity, but this cannot be pushed too far. It can for instance not be analytic as follows by the identity principle.

In this talk, we wish to present a technique that may bypass this obstruction. Namely, instead of considering a single function, we shall construct a sequence of function that are supported in the same compact, and satisfy some good uniform bounds on their derivatives.

This method is a powerful tool as it can, in some circumstances, turn a heuristic argument relying on a compactly supported analytic auxiliary function, into a rigorous proof. As an application, we shall discuss how this technique leads to improvements in some quantified Tauberian theorems.

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On va donner une introduction gentille aux aspects arithmétiques en géométrie non-commutative, notamment les systèmes de Bost-Connes. De plus, on va expliquer la nécessité d’autres outils.

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Dans cet exposé on expliquera comment reformuler un problème d’indice et construire pour les triplets spectraux tordus (ou (sigma)-triplet spectraux) qui ont été introduits il y quelques années par Alain Connes et Henri Moscovici. Il y a de nombreux exemples de triplets spectraux tordus, notamment dans le contexte de la géométrie conforme. On expliquera comment utiliser ceci pour reformuler la formule locale de l’indice en géométrie conforme, c.à .d. en présence d’un groupe conforme de difféomorphismes préservant une structure conforme. Ensuite on expliquera comment reformuler l’inégalite de Vafa-Witten pour les triplets spectraux tordus. En particulier, cela permet d’avoir une version de cette inégalite en géométrie conforme. Un ingrédient important est une notion de dualité de Poincaré pour les triplets spectraux tordus qui permet d’avoir un nouveau point de vue sur les triplets spectraux tordus.

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