Les surfaces minimales sont les surfaces qui sont points critiques de la fonctionnelle d’aire à bord fixé. Elles sont caractérisées par le fait que leur courbure moyenne est nulle. Un problème posé par Ricci est de déterminer quelles surfaces riemanniennes peuvent être immergées (localement) isométriquement comme surfaces minimales de l’espace euclidien de dimension 3. Ricci a donné une caractérisation dans le cas où la surface est à courbure strictement négative. A. et S. Moroianu ont donné une caractérisation complète sans cette hypothèse et ont introduit la notion de surface de Ricci. Nous verrons des généralisations de cette notion, nous intéresserons aux surfaces de Ricci généralisées compactes et verrons le lien avec les surfaces à courbure constante et singularités coniques. Il s’agit d’un travail en commun avec Yiming Zang.

Soient $\mathcal{A}$ un ensemble fini d’entiers naturels non-nuls et $y \geq 1$. Nous donnons une minoration effective du cardinal de l’ensemble $\{n\in\mathcal{A} ; p|n \Rightarrow p \leq y\}$ sous la condition d’une bonne connaissance du niveau de répartition de l’ensemble $\mathcal{A}$. Quelques conséquences seront ensuite abordées, dont une application aux valeurs friables de polynômes ou de formes binaires à coefficients entiers, puis une application aux entiers friables voisins.

Soit $\pi(x)$ le nombre de nombres premiers dans l’intervalle $[1,x]$. Nous savons depuis Euclide que $\pi(x)$ tend vers l’infini, mais à quelle vitesse ?  La réponse à cette question fut obtenue pour la première fois en 1896 par Jacques Hadamard et Charles-Jean de la Vallée Poussin qui démontrèrent, de manière indépendante, le théorème des nombres premiers: \[\pi(x)\sim \frac{x}{\log x}\quad(x\to \infty).\]
La démonstration de Hadamard et La Vallée Poussin utilise principalement les propriétés de la fonction zêta de Riemann et donc l’analyse complexe. Ce n’est qu’en 1949 qu’Erdős et Selberg publièrent indépendamment la première démonstration élémentaire (utilisant uniquement l’analyse réelle) du théorème des nombres premiers. Dans cet exposé, nous présenterons le développement historique des démonstrations élémentaires du théorème des nombres premiers puis nous donnerons une version effective du théorème des nombres premiers de Lu qui, à ce jour, donne le meilleur terme d’erreur en utilisant des méthodes élémentaires.

La notion de fonction puissance d’un nombre entier, introduite par Mazur (2000) fait intervenir le noyau (ou radical) d’un entier. Cette fonction lui  permet de définir une généralisation des puissances (“powered numbers”). Après avoir rappelé des résultats récents sur le noyau d’un entier, nous présenterons des résultats nouveaux sur la fonction de répartition des puissances généralisées, ainsi que sur un problème additif concernant la représentation d’un entier comme somme de puissances généralisées. Ce travail a été réalisé en collaboration avec J. Brüdern.

Dans cet exposé on expliquera comment reformuler un problème d’indice et construire pour les triplets spectraux tordus (ou (sigma)-triplet spectraux) qui ont été introduits il y quelques années par Alain Connes et Henri Moscovici. Il y a de nombreux exemples de triplets spectraux tordus, notamment dans le contexte de la géométrie conforme. On expliquera comment utiliser ceci pour reformuler la formule locale de l’indice en géométrie conforme, c.à .d. en présence d’un groupe conforme de difféomorphismes préservant une structure conforme. Ensuite on expliquera comment reformuler l’inégalite de Vafa-Witten pour les triplets spectraux tordus. En particulier, cela permet d’avoir une version de cette inégalite en géométrie conforme. Un ingrédient important est une notion de dualité de Poincaré pour les triplets spectraux tordus qui permet d’avoir un nouveau point de vue sur les triplets spectraux tordus.

Résumé