Driss Essouabri

Les fonctions zêta à une ou plusieurs variables sont des objets importants qui apparaissent naturellement dans plusieurs domaines des mathématiques : la théorie des nombres, la géométrie algébrique, la théorie des groupes, la physique mathématique, les systèmes dynamiques, l’informatique théorique, la théorie des graphes, les équations aux dérivées partielles, la géométrie fractale, etc. L’étude de ces fonctions est transversale à la subdivision traditionnelle en disciplines mathématiques : algèbre, analyse, topologie, géométrie, combinatoire qui sont toutes nécessaires pour les étudier.

Dans cet exposé, nous présenterons un aperçu général de ce sujet et des méthodes utilisées pour étudier plusieurs classes de séries de Dirichlet et fonctions zêtas à plusieurs variables. Nous donnerons en particulier plusieurs résultats les concernant (prolongement méromorphe, localisation des singularités, valeurs spéciales, etc.) Nous donnerons aussi quelques applications (en théorie des nombres, en géométrie arithmétique, en géométrie fractale, etc.) pour justifier l’étude de ces différentes classes.

Jean Dolbeault

Par des méthodes variationnelles, il est possible de donner un critère optimal pour la brisure de symétrie dans une sous-famille des inégalités de Caffarelli-Kohn-Nirenberg. Le but de l’exposé est d’introduire ce résultat, obtenu récemment en collaboration avec Maria J. Esteban et Michael Loss.

La méthode permet de relier les résultats de rigidité pour des EDP elliptiques non-linéaires aux méthodes dites du “carré du champ” en théorie des semi-groupes, et repose sur l’utilisation de fonctionnelles d’entropies pour des équations de diffusion non-linéaires.

Le colloquium permettra donc de faire le lien entre différents points de vue, et de replacer les questions de symétrie et de brisure de symétrie dans un contexte plus large.

Andreï Teleman

Une surface de Klein est une surface de Riemann [latex]Y[/latex] munie d’une involution anti-holomorphe [latex]iota[/latex]. Une surface de Klein est donc un espace Réel au sens de Atiyah. Dans la théorie classique (sans involution) on obtient facilement une famille d’opérateurs de Dirac sur  [latex]Y[/latex] paramétrée par [latex]Pic^0(Y)[/latex], qui est un tore complexe de dimension (complexe) [latex]g(X)[/latex].  Cette famille d’opérateurs et son fibré en droites déterminant ont été étudiés intensivement  dans le littérature. Dans le cas Réel (le cas d’une surface de Klein) l’involution fixée [latex]iota[/latex] sur [latex]Y[/latex]  induit une involution anti-holomorphe  [latex]hatiota[/latex] de [latex]Pic^0(Y)[/latex]. En plus, la famille d’opérateurs de Dirac considérée est, elle aussi, munie naturellement d’une structure Réelle. Il en résulte que le fibré déterminant (qui est un fibré holomorphe en droites sur [latex]Pic^0(X)[/latex]) va hériter une structure Réelle au sense de Atiyah.

Le lieu des points invariants dans l’espace total du fibré déterminant sera donc un fibré en droite réel (avec minuscule!) sur le lieu fixe [latex]Pic^0(Y)^{hatiota}[/latex] de [latex]Pic^0(Y)[/latex].

L’exposé va traiter un problème très naturel (mais difficile): déterminer explicitement la casse d’isomorphisme de ce fibré en droite réel, en particulier sa classe de Stiefel-Whitney [latex]w_1[/latex].

Nalini Anantharaman

Adam Harper

I will talk a little about the Riemann Hypothesis, andhow it can be reformulated as a question about cancellation in the sum of the Mobius function, which only takes values 1, -1, and 0.

Then I will explain what is known and conjectured about the size of this sum, and try to describe the work of various authors on a random analogue of the problem.

There are connections with the Law of the Iterated Logarithm and with large values theory for Gaussian processes, which I will try to sketch.

Vera Serganova

The goal of this lecture is to show interplay between supersymmetry and tensor categories. The main idea of supersymmetry is to equip all objects with parity ( [latex]mathbf{Z}_2[/latex]-grading) and modify usual identities by so called sign rule. Original motivation comes from physics and topology, for example, a complex of differential forms on a manifold is a supermanifold and De Rham differential can be realized as a vector field on this super manifold. One way to approach supersymmetry is via rigid symmetric tensor categories.

After elementary introduction to supersymmetry and tensor categories, I will formulate theorem of Deligne that any rigid symmetric tensor category satisfying certain finiteness conditions is in fact the category of representations of a supergroup.

Then I illustrate how both theories enrich each other on two examples:

1. Decomposition of tensors in superspace;
2. Construction of universal symmetric tensor categories and proof of a conjecture of Deligne using results of representation theory of supergroups.

Damien Gaboriau

Georges Skandalis

Elek et Szabo ont démontré que les groupes sofiques (de Gromov) vérifient la conjecture de Lück. Nous présenterons un travail en collaboration avec G. Balci qui donne une définition des groupes sofiques et une démonstration de ce résultat à l’aide de traces sur la [latex]C^∗[/latex]-algèbre du groupe libre.

Si le temps le permet, nous esquisserons les liens de la conjecture de Lück avec une conjecture (ou plutôt un problème) d’Atiyah.

Présenterons les principaux objets :

–  Gromov a introduit une classe de groupes (dénombrables) appelés groupes sofiques qui

sont en un sens précis bien approchables par des groupes de permutation [latex]mathfrak{S}_n[/latex]. Précisons que l’on ne connait pas pour le moment de groupes non sofiques et que tous les groupes profinis ou moyennables sont sofiques.
–  La conjecture de Lück pour un groupe [latex]Gamma[/latex] prédit que pour [latex]x[/latex] dans l’anneau [latex]mathbf{Z}Gamma[/latex] d’ungroupe [latex]Gamma[/latex], le « produit continu » des valeurs propres non nulles de [latex]x∗x[latex] est supérieur à 1.

Reinhard Farwig

The Navier-Stokes system is the standard model to describe the flow of an incompressible viscous fluid. Although global in time weak solutions can easily be constructed by several methods, it is an open problem in the three-dimensional case whether these solutions are unique, satisfy a physically reasonable energy equality and are strong or even smooth of class [latex]C^infty[/latex].

In this talk we explain this famous Millennium Problem of Clay Mathematics Institute in more details and report on classical results as well as on recent progress.

Christian Gérard

La théorie quantique des champs est formulée d’habitude sur l’espace-temps plat de Minkowski. L’extension de ce cadre à des espaces-temps généraux permet de mettre en lumière de nouveaux phénomènes quantiques qui surviennent en présence d’un champ gravitationnel fort.

Nous présenterons tout d’abord le cadre algébrique de la théorie des champs libres en espace-temps courbe, en traitant le cas modèle d’un champ de Klein-Gordon.
Dans une deuxième partie nous aborderons les difficultés nouvelles dues à l’absence d’un groupe d’isométries sur un espace-temps courbe, qui se traduisent physiquement par l’absence d’un état de vide naturel. Nous illustrerons ces difficultés par deux effets emblématiques de la théorie des champs en espace-temps courbe, l’effet Unruh et l’effet Hawking.

Enfin nous décrirons les avancées relativement récentes dans la caractérisation d’états physiquement raisonnables en espace-temps courbe, basées sur l’utilisation de l’analyse microlocale.