Gilles Carron

La topologie des variétés non compactes est par essence bien compliquée. Un aspect plus facile est d’es- sayer de comprendre le nombre de bout, c’est à dire le nombre de façon de partir à l’infini. Par exemple la droite réelle a deux bouts ([latex]pminfty[/latex]) alors que la plan en a un seul.

Il existe des outils analytiques/géométriques qui permettent de détecter si une variété non compacte a plusieurs bouts. Ces techniques peuvent donner des jolis résultats sur les hypersurfaces minimales, les variétés hyperboliques complexes.

On présentera donc les idées menant à ces outils et à leurs applications.

Ludovic Rifford

Toute surface dans l’espace euclidien hérite d’une distance géodésique correspondant aux longeurs mi- nimales des courbes tracées sur la surface entre deux points. Si on se donne une mesure de probabilité sur la surface, toute application de la surface dans elle-même transporte cette mesure vers une mesure image; la mesure “image” d’un ensemble n’étant rien d’autre que la mesure de son image réciproque par l’applica- tion. Etant données deux mesures de même masse, on peut se demander comment transporter la première mesure vers la deuxième de manière optimale relativement à la distance géodésique. Après avoir présenté des résultats assurant l’existence et l’unicité d’applications de transport minimisantes, on s’interessera à la régularités de ces applications. On expliquera en quoi la régularité de toutes les applications de transport entre de bonnes mesures est reliée à la géométrie de la surface.

Michel Brion

Lorsque l’on a un fibré principal sur un espace topologique, on peut former le fibré associé à un autre espace topologique dans lequel opère le groupe structural. Cependant, cette construction n’est pas toujours possible dans le cadre de la géométrie algébrique. L’exposé présentera des exemples et des résultats positifs dans cette direction, ainsi que quelques applications.

Laurent Mazliak

L’exposé concerne l’émergence de la statistique mathématique moderne en France au lendemain de la Première Guerre Mondiale. Après une description de la manière dont Emile Borel s’est emparé de la question du hasard mathématisé, nous nous intéresserons aux deux institutions qu’il a créées dans les années 1920, l’Institut de Statistique de l’Université de Paris en 1922 et surtout l’Institut Henri Poincaré en 1928. A l’IHP, une nouvelle publication, les “Annales de l’IHP” est fondée en 1931 et nous pencherons sur les premières publications qu’on y trouve concernant des sujets de statistique.

Nicolas Ressayre

Que peut-on dire du spectre de la somme de 2 matrices hermitiennes connaissant uniquement les spectres des 2 termes ? Bien que l’histoire de cette question élémentaire commence avec H. Weyl en 1912, elle n’a été résolue que très récemment. Un ingrédient essentiel dans cette résolution est une interprétation en terme de représentations ou d’action de groupes algébriques.

Soit [latex]G[/latex] un groupe complexe réductif (e.g. [latex]mathbf{C}^∗, SL_n(mathbf{C}), SO_n(mathbf{C})[/latex]). Soit [latex]H[/latex] un sous-groupe réductif de [latex]G[/latex]. Une représentation irréductible [latex]V[/latex] de [latex]G[/latex] est une représentation de [latex]H[/latex] qui n’est plus nécessairement irréductible. On se demande alors quels sont les sous-[latex]H[/latex]-modules irréductibles de [latex]V[/latex]. Nous présenterons quelques développements récents autour de cette question et en particulier ses liens avec celle concernant les matrices hermitiennes.

Serge Cantat

Le groupe de Cremona est formé de toutes les transformations du plan qui s’expriment à l’aide de fractions rationnelles en les coordonnées et qui admettent une application réciproque du même type. Je décrirai ce groupe et quelques unes de ses propriétés en le comparant à des groupes classiques, notamment aux groupes linéaires [latex]GL_n(k)[/latex].

Simon Salamon

It is well known that an oriented conformal structure in 2 real dimensions is the same thing as a complex structure. In higher (even) dimensions one can attempt to define different complex structures on the same Riemannian manifold, and their parametrization leads one to “twistor space”.

I shall discuss the simplest case of this theory by describing complex structures on 4-dimensional Euclidean space, and explaining why they are all constant (a “Liouville theorem”). Generalizations of this problem are tackled by passing to complex projective 3-space with a certain real structure. In this context, I shall discuss quadric and cubic surfaces and their discriminant loci.

Michael Harris

Le Lemme fondamental, démontré par Ngô Bao Châu en 2007-2008, est une identité explicite entre intégrales de fonctions sur certaines paires de groupes p-adiques, le long des classes de conjugaison. Il a été formulé en tant que conjecture par Langlands et Shelstad en 1987, avec deux principales motivations : de stabiliser la formule de traces d’Arthur et Selberg, afin d’établir les conjectures de fonctorialité de Langlands dans certains cas, et de déterminer les représentations de groupes de Galois de corps de nombres réalisées dans la cohomologie de variétés de Shimura. Je décrirai les représentations galoisiennes construites à l’aide du Lemme fondamental et j’indiquerai comment les méthodes de Wiles permettent de les utiliser pour résoudre certains problèmes traditionnels en théorie algébrique des nombres, notamment la conjecture de Sato-Tate.

Bruno Colbois

Dans cet exposé je présenterai des résultats récents permettant d’obtenir des bornes supérieures du spectre du laplacien des hypersurfaces de l’espace euclidien.

Dominique Cellier

L’alignement de séquences biologiques (ADN, ARN, EST, protéines) constitue en général une première étape fondamentale dans l’analyse de ces dernières : recherche de séquences homologues dans les banques de données, détection de structures, de domaines ou de fonctions par génomique comparative, reconstruction phylogénétique.

L’approche classique de l’alignement de deux séquences est de type combinatoire : à partir d’un système de score nucléique ou de matrices de similarité protéique (PAM, BLOSUM) déterminer l’alignement (global ou local) de score maximum. Deux algorithmes de programmation dynamique (Needleman & Wunsch et Smith & Waterman) permettent de construire de manière exacte cet alignement optimal et des résultats sur les valeurs extrèmes permettent d’en déterminer la signification statistique (formule de Karlin, Z-score), base des programmes d’interrogation des banques de données (BLAST, FASTA).

Une alternative à cette approche est le développement de méthodes probabilistes dont les plus fréquentes actuellement sont celles d’alignement par chaînes de Markov cachées. Dans ce cas, pour un modèle ajusté au cours d’une phase d’apprentissage, l’alignement local ou global s’obtient par l’algorithme de Viterbi.