Colloquium

In this survey talk, I will outline the history of the problem of proving or disproving the existence of complex structures on $S^6$ and explain why this question is interesting. It goes back to a 1947 paper by Heinz Hopf. Moreover, I will explain the rich structure of $S^6$ — as an almost complex manifold, and how it relates to the exceptional Lie group $G_2$, octonions, and spin geometry.

En 1858, Hermann von Helmholtz, alors professeur de
physiologie à l’université de Heidelberg, publie dans le journal de
Crelle un article tout à fait novateur qui met en lumière le rôle
fondamental joué par les structures tourbillonnaires dans l’écoulement
des fluides incompressibles. Il identifie en particulier les anneaux
de tourbillon, de forme torique, qui se déplacent à vitesse
constante le long de leur axe de symétrie avec une stabilité
remarquable. Ces structures fascinent les scientifiques de l’époque,
dont Lord Kelvin, lequel ira jusqu’à proposer une théorie de la matière
dont les atomes eux-mêmes sont des filaments de tourbillon. Dans cet
exposé, je tâcherai d’expliquer en quoi le point de vue de Helmholtz
était révolutionnaire pour l’époque, puis je présenterai un certain
nombre de résultats mathématiques plus récents établissant l’existence
et la stabilité des anneaux tourbillonnaires dans les fluides parfaits
ou visqueux. Je mentionnerai également quelques problèmes ouverts
relatifs aux filaments de tourbillon de forme quelconque.

Titre : Heat flow on Riemannian manifolds and curvature

Résumé : The effect of curvature in the propagation of heat on a Riemannian manifold is a classical problem. A quantitative measurement of this behavior is encoded most directly in many functional inequalities. We show that Stochastic Analysis provides natural tools to quantify this effect.

In this talk, we exemplify the interplay of geometry and probability theory on the basis of the validity of Calderón-Zygmund inequalities on complete Riemannian manifolds.

Titre : Les noms des nombres : vers un existentialisme arithmétique ?

Résumé : Cet exposé a pour objectif d’explorer une problématique que l’on peut formuler à travers deux hypothèses opposées : celle d’une aptonymie arithmétique, où le “nom” d’un nombre—défini, par exemple, par la suite de ses décimales— refléterait ses propriétés mathématiques principales, ou au contraire celle d’une forme d’existentialisme arithmétique, où ce nom ne prédéterminerait pas ses propriétés.

Celle-ci s’inscrit dans une longue tradition de réflexion nourrie par des mathématiciens aux intérêts très variés, tels que Pascal, É. Borel, Turing, Morse ou, plus récemment, Furstenberg. J’expliquerai comment la théorie des automates finis, ainsi qu’une méthode introduite par Mahler à la fin des années 1920 pour étudier la transcendance de certaines valeurs de fonctions analytiques, peuvent être mobilisées pour aborder ce problème.

Il s’agit d’un travail en collaboration avec Colin Faverjon.

Both conjugacy classes of nilpotent matrices (of size $n$) and
irreducible representations of the symmetric group $S_n$ are indexed
by partitions of $n$. For any complex reductive group, there is a
(finite) collection of conjugacy classes of nilpotent Lie algebra
elements, and a (finite) set of irreducible Weyl group
representations, both enumerated by the 1950s. One might therefore
hope for a relationship between these finite sets. I’ll first explain
Springer’s (somewhat complicated) description of such a relationship,
and then Lusztig’s identification of a {\em bijection} between what he
called {\em special} Weyl group representations and {\em special}
nilpotent orbits.

I’ll explain how these ideas arise in the representation theory of
real reductive groups, and what light that might shed on Lusztig’s
definition of special.

Titre : Processus de Galton-Watson renforcés

Résumé : Après une brève introduction à la notion de renforcement pour les processus aléatoires, nous nous intéresserons aux processus de branchement, vus comme des modèles de base d’évolution de populations.

Dans un processus de Galton-Watson classique, les individus se reproduisent indépendamment les uns des autres et selon une loi de reproduction fixe $\nu$. La version renforcée dépend d’un paramètre mémoire $q\in(0,1)$. Le nombre d’enfants d’un individu typique est alors soit, avec probabilité $q$, le même que celui d’un de ses ancêtres tiré au hasard, soit avec probabilité complémentaire $1-q$, est donné par un tirage indépendant de loi $\nu$. On s’intéressera à la moyenne de la taille de la population à une grande génération. L’approche fait intervenir des arguments combinatoires, une équation différentielle non linéaire remarquable, et l’analyse des singularités; elle doit beaucoup aux travaux de Flajolet et co-auteurs.

L’exposé repose sur des travaux communs avec Bastien Mallein (Toulouse).

Titre : Inégalités isopérimétriques et valeurs propres

Résumé :

Dans cet exposé nous présenterons des résultats classiques et d’autres qui le sont moins sur les inégalités isopérimétriques mettant en jeu les petites valeurs propres du Laplacien. Il s’agit d’un sujet liant la géométrie (spectrale), l’analyse et les équations aux dérivées partielles. Plus précisément, il s’agit de trouver des inégalités optimales pour les valeurs propres $\lambda_1,\lambda_2,\ldots$ du Laplacien (avec diverses conditions au bord) sous des contraintes géométriques, le plus souvent à volume donné. Nous évoquerons également quelques problèmes ouverts dont l’énoncé est particulièrement simple mais qui résistent depuis de nombreuses années.

Titre : Singular stochastic partial differential equations: more geometry and less combinatorics

Résumé :

Singular stochastic partial differential equations are those stochastic PDE in which the noise is so rough that the nonlinearity requires a renormalization. The guiding principle of renormalization is to preserve as many symmetries of the solution manifold as possible. We follow the approach of mathematical physics, and of Hairer’s regularity structures, which however we re-interpret as providing an informal parameterization of the infinite-dimensional nonlinear solution manifold.

We systematically follow this more geometric/analytic than combinatorial point-of-view: Instead of appealing to an expansion indexed by trees, we consider all partial derivatives w. r. t. the “constitutive” function defining the nonlinearity. Instead of a Gaussian calculus guided by Feynman diagrams arising from pairing nodes of two trees, we consider derivatives w. r. t. the noise, i. e. Malliavin derivatives. We interpret the Malliavin derivative of the parameterization as an approximate tangent vector to the solution manifold, which yields a sparse representation in terms of the parameterization itself, and paves the way for its stochastic estimate. Ultimately, this gives a characterization of the solution manifold that is oblivious to the divergent counter terms.

This is work with L. Broux, P. Linares, M. Tempelmayr, and P. Tsatsoulis, based on work with J. Sauer, S. Smith, and H. Weber.

Titre : Tours en mouvement : un mathématicien amateur à la fin du XIXe siècle

Résumé : Henri Delannoy (1833-1915), ancien intendant militaire, correspondant d’Edouard Lucas et d’Eugène Catalan, s’est intéressé aux déplacements des tours et des reines sur des échiquiers et à leurs applications à la combinatoire et aux probabilités. Ses recherches, redécouvertes par Sylviane Schwer et Cyril Banderier en particulier, sont un lieu d’observation privilégié sur la société mathématique française de la fin du XIXe siècle, la place des amateurs, les modes de diffusion de leurs travaux et leurs relations parfois conflictuelles avec le monde universitaire et l’Académie des sciences. L’exposé les présentera dans ces différents contextes.