Les Éléments de mathématique désignent une vaste entreprise éditoriale menée par le groupe Nicolas Bourbaki sur des thématiques aussi diverses que la théorie des ensembles, l’algèbre, la topologie, les espaces vectoriels topologiques, l’intégration ou encore les groupes et les algèbres de Lie. Les premiers fascicules des Éléments paraissent ponctuellement à la fin des années 1930 et durant la période de l’Occupation, avant de faire l’objet de publications régulières à partir de 1947. Dans le cadre de cet exposé, nous reviendrons tout d’abord sur les premières années d’existence du groupe afin de comprendre comment cette entreprise est née. Nous dresserons ensuite un état des lieux des archives disponibles permettant de documenter la genèse des Éléments de mathématique, ce qui nous conduira à mettre en exergue certaines pièces issues du fonds Jean Delsarte qui est conservé à la bibliothèque de l’Institut Élie Cartan. Les archives du groupe Bourbaki sont essentiellement composées de deux classes de documents : des Rédactions qui documentent les états intermédiaires dans la genèse d’un fascicule des Éléments de mathématique et les numéros du Journal de Bourbaki qui contribuent à comprendre comment ces Rédactions ont été discutées, critiquées et révisées. Nous reviendrons sur les précautions de méthode qui s’imposent pour étudier et relier ces deux grandes classes de documents. Enfin, nous présenterons succinctement l’état de nos recherches sur les premières rédactions Bourbaki dévolues aux groupes et aux algèbres de Lie.  

This talk will be about a project aiming to illustrate geometry through puzzles. The puzzles, played following simple rules on square-tiled surfaces, have natural configuration graphs with a geometry of their own. These graphs are not unlike other combinatorial graphs used in the study of moduli spaces of surfaces and which can be visualized in similar ways. The goal will be to play around with the puzzles, explore their graphs and have fun.

The Quadratis puzzles were created and brought to life together with Paul Turner, Mario Gutiérrez and Reyna Juárez (see http://quadratis.app).

La théorie quantique des champs est un domaine majeur de la physique théorique et expérimentale. Ceci est du au fait qu’elle permet de décrire la physique des hautes énergies avec une précision stupéfiante. Malgré ce succès, c’est souvent un véritable défi pour le mathématicien de donner une définition rigoureuse aux théories quantiques qui apparaissent en physique. Parmi les théories des champs, il existe des théories spéciales en dimension 2 avec des symétries remarquables et appelées théories conformes. Le but de cet exposé est d’expliquer ce qu’est une théorie conforme et de montrer comment on peut utiliser la théorie des probabilités pour donner un sens rigoureux à l’une d’elle appelée théorie conforme des champs de Liouville et qui fut introduite par Polyakov en 1981 dans le cadre de sa construction de la théorie des cordes.

Basé sur une série de travaux avec: F. David, C. Guillarmou, A. Kupiainen, R. Rhodes.

Le modèle d’Ising et celui des dimères sont deux modèles de mécanique statistique. Le premier date des années 1920, il modélise le ferromagnétisme; quant au deuxième, il est apparu dans un article de 1938 et modélise la répartition de molécules di-atomiques à la surface d’un cristal. En 1966, Fisher établit une correspondance, qui s’est avérée très féconde, entre ces deux modèles. La Z-invariance a été introduite par Baxter à la fin des années 1970. Il s’agit d’imposer des contraintes sur les paramètres du modèle, qui lui confèrent des propriétés remarquables. Le but de cet exposé est d’expliquer ces modèles, leur lien, la pertinence de la Z-invariance et le type de résultats que l’on peut obtenir. Une partie sera surtout historique, et vers la fin je parlerai de travaux en collaboration avec Cédric Boutillier (Sorbonne université) et Kilian Raschel (Université de Tours).

Le problème aux valeurs propres de Steklov est récemment devenu un sujet central en géométrie spectrale.
Je présenterai un survol de certains développements récents dans cette thématique, avec un accent particulier sur le comportement spectral asymptotique pour les polygones. Ce problème est étroitement lié à des questions classiques en dynamique des fluides, ainsi qu’en théorie des graphes quantiques. La célèbre question “Peut-on entendre la forme d’un tambour ?” dans le contexte du problème de Steklov sera également discutée.

La connaissance du concept de vagues sur une plage est un prérequis; toutes les autres notions seront expliquées.
L’exposé est basé sur des travaux en collaboration avec Michael Levitin, Leonid Parnovski, David Sher, et Stanislav Krymski.

On va considérer dans cet exposé diverses configurations aléatoires de points (appelées aussi processus ponctuels), sur l’axe réel ou dans le plan notamment. Les processus ponctuels les plus étudiés par les probabilistes sont les processus de Poisson : le nombre de points dans une boîte fixée est dans ce cas indépendante de la configuration à l’extérieur de la boîte. Au contraire, certains processus ponctuels naturels sont rigides, c’est-à-dire que le nombre de points dans la boîte fixée est prescrit exactement par la configuration à l’extérieur. En termes physiques, il serait impossible de rajouter de force un point supplémentaire dans la boîte sans dépenser une énergie infinie.
Cette propriété de rigidité est intrigante et se manifeste souvent pour des systèmes de particules fortement corrélés, provenant par exemple de la combinatoire, de la théorie des représentations ou des matrices aléatoires. Je montrerai plusieurs tels exemples et expliquerai comment on peut aborder mathématiquement les questions de rigidité.

Louis-Pierre Arguin (City University of New York)

Les grandes valeurs de la fonction zêta de Riemann sur l’axe critique (et non seulement les zéros!) jouent un rôle important en théorie des nombres. Par exemple, l’hypothèse de Lindelöf stipule que le module de la fonction sur l’axe critique à la hauteur T croît plus lentement que toute puissance de T. Il s’avère qu’il est plus facile de décrire les grandes valeurs de zêta dans des intervalles courts. Dans cet exposé, je décrirai les travaux récents sur cette question. En particulier, j’expliquerai les connexions intéressantes entre les grandes valeurs de zêta et les statistiques des valeurs extrêmes des processus branchants en probabilités.

Les grandes valeurs de la fonction zêta de Riemann sur l’axe critique (et non seulement les zéros!) jouent un rôle important en théorie des nombres. Par exemple, l’hypothèse de Lindelöf stipule que le module de la fonction sur l’axe critique à la hauteur T croît plus lentement que toute puissance de T. Il s’avère qu’il est plus facile de décrire les grandes valeurs de zêta dans des intervalles courts. Dans cet exposé, je décrirai les travaux récents sur cette question. En particulier, j’expliquerai les connexions intéressantes entre les grandes valeurs de zêta et les statistiques des valeurs extrêmes des processus branchants en probabilités.

Nicolas Lerner (Sorbonne Université)

Les inégalités de Carleman portent le nom du mathématicien suédois de l’université de Lund, Torsten Carleman (1892-1949). Celui-ci inventa en 1939 une méthode pour démontrer des propriétés de continuation unique pour des solutions d’équations aux dérivées partielles elliptiques. Ces méthodes ont été développées par la suite dans maints domaines des mathématiques. Dans cet exposé, nous suivrons le cours de l’histoire et examinerons pour commencer les résultats classiques d’unicité de Cauchy, dus à Alberto Calderón et Lars Hörmander, obtenus à la fin des années cinquante par la méthode de
Carleman. Nous évoquerons ensuite une partie des développements de cette méthode dans la période plus récente, avec des applications en théorie du contrôle, en théorie spectrale et en mécanique des fluides.