Normalité asymptotique sous dépendance locale, et application aux occurrences de motifs dans les permutations aléatoires

Dans cet exposé on commencera par introduire la notion de « graphe de dépendance », qui permet notamment de généraliser le Théorème Central Limite en affaiblissant l’hypothèse d’indépendance. Cette généralisation n’est cependant pas gratuite ; elle requiert notamment une bonne estimation de la variance de la variable d’intérêt. On s’intéressera donc plus précisément au cas des U-statistiques, variables pour lesquelles on peut astucieusement calculer la variance.

Ces considérations pourront s’appliquer à la question du nombre d’occurrences d’un motif donné dans une grande permutation aléatoire. Pour des permutations de loi uniforme, il est bien connu que cette statistique satisfait une normalité asymptotique. À l’aide d’une approche géométrique, on étendra ce résultat aux permutations de loi invariante par conjugaison.