MASTERCLASS M1
Géométrie Riemannienne & Equations aux Dérivées Partielles
Du lundi 20 au vendredi 24 janvier 2025
2 THÉMATIQUES
Cette Master Class est organisée en janvier 2025 à l’Institut Élie Cartan de Lorraine. Elle aura lieu à Nancy du lundi 20 janvier au vendredi 24 janvier, et sera en 2 parties :
- Partie 1 : du lundi après-midi au mercredi midi sur la Géométrie Riemannienne ;
- Partie 2 : du mercredi après-midi au vendredi midi sur les Equations aux Dérivées Partielles.
Il est possible de suivre les deux parties ou seulement l’une des deux. Les deux parties présentent des aspects complémentaires des interactions entre géométrie et analyse. La Master Class s’adresse principalement aux étudiantes et étudiants de M1, mais pourra également intéresser les étudiantes et étudiants de M2 ou de doctorat dans ces thématiques.
Le but de la Master Class est de faire découvrir des directions actuelles de recherche dans les domaines mentionnés, dans un environnement de travail agréable permettant des interactions avec les chercheurs et chercheuses invités. Chaque partie consistera en trois ou quatre mini-cours de 3h ou 4h chacun. Les exposés seront donnés par Gisella Croce (Université Paris 1), Federica Fanoni (Université Paris-Est Créteil), Antoine Henrot (Institut Elie Cartan de Lorraine), Antoine Lemenant (Institut Élie Cartan de Lorraine), Nicolas Marque (Institut Elie Cartan de Lorraine), Laurent Mazet (Université de Tours), Yannick Privat (Institut Elie Cartan de Lorraine) et Samuel Tapie (Institut Elie Cartan de Lorraine).
Du lundi après-midi au mercredi midi
Federica Fanoni
Univ. Paris Est Créteil
Cours de 4h
Surfaces hyperboliques et leurs géodésiques
Sur une surface obtenue en recollant plusieurs donuts on peut choisir une métrique (i.e., une manière de mesurer distances, angles, aires…), dite hyperbolique, qui n’est pas plate, c’est-à-dire, elle ne ressemble pas à la métrique du plan Euclidien, mais a une courbure constante. Dans ce mini-cours, nous allons introduire le plan hyperbolique et montrer comment l’utiliser pour construire des surfaces avec une métrique hyperbolique. Nous parlerons des chemins minimisant les distances — qu’on appelle géodésiques — et du problème de reconstruire la surface à partir seulement de l’information des longueurs de ces géodésiques fermées.
Laurent Mazet
Institut Denis Poisson
Univ. Tours
Cours de 4h
Surfaces minimales de R^3
Considérons un morceau de fil de fer dont on soude les deux extrémités formant ainsi une boucle, tordons un peu cette boucle afin qu’elle ne soit pas contenue dans un plan et plongeons la dans de l’eau savonneuse. En ressortant la boucle de l’eau, un film de savon va apparaître. La surface décrite par ce film de savon a la particularité suivante : son aire est minimale parmi toutes les surfaces qui ont pour bord la boucle que l’on s’est donnée. Mathématiquement on peut considérer des surfaces de R^3, calculer leurs aires et se demander comment caractériser les surfaces qui seraient d’aire minimale (au moins localement). Cela conduit à introduire la notion de surface minimale. Dans ce cours, je tacherai de présenter quelques éléments de la théorie de ces objets.
Nicolas Marque & Samuel Tapie
IECL
Univ. Lorraine
Cours de 4h
Géodésiques, relativité générale et trous noirs
Comment « avancer tout droit » dans un espace courbe ? Un vol Paris-Los Angeles, un rayon lumineux dans l’air chaud du désert ou un bon chemin de montagne avancent « tout droit » en un sens bien précis : ils suivent le chemin le plus court (ou en tout cas celui qui coûte le moins d’énergie), ils suivent une géodésique. Dans un cadre relativiste, tout corps (de masse positive ou nulle, objet, rayon lumineux…) en chute libre suit également une géodésique dans un espace-temps courbé par l’énergie ambiante. C’est ainsi que, tout en « avançant tout droit », un rayon lumineux nous apparaîtra dévié par des étoiles ou des trous noirs, comme cela a pu être vérifié par de nombreuses expériences. Ce mini-cours commencera par une introduction à la notion de géodésique riemannienne, puis présentera quelques outils de base de la relativité générale pour terminer par l’étude de certains modèles de trous noirs. Il ne manipulera que des objets mathématiques accessibles en M1.
Du mercredi après-midi au vendredi après-midi
Antoine Henrot
IECL
Univ. Lorraine
Cours 3h
Géométrie spectrale et optimisation
La géométrie spectrale est un domaine au confluent de la géométrie et des équations aux dérivées partielles.
Il s’agit de comprendre le lien entre la forme d’un domaine (ou d’une variété) et la suite des valeurs propres du Laplacien.
Dans ce mini-cours, nous nous placerons dans un cadre euclidien (ouverts de R^N) et nous nous focaliserons
notamment sur des problèmes d’optimisation: quels domaines minimisent ou maximisent les premières valeurs propres du
Laplacien. Cela permettra d’introduire des notions importantes de l’analyse moderne comme les symétrisations, la
dérivée par rapport au domaine, les méthodes variationnelles… Nous présenterons aussi des jolis problèmes ouverts
en géométrie spectrale dont l’énoncé est particulièrement simple.
Antoine Lemenant
IECL
Univ. Lorraine
Cours 3h
Introduction à la théorie de la mesure géométrique et au calcul des variations
La théorie de la mesure géométrique a été développée dans les années 70 en vue d’étudier le célèbre problème de Plateau. Cette théorie englobe un certain nombre d’outils mathématiques qui sont aujourd’hui très utilisés notamment en calcul des variations lorsqu’il s’agit de donner un sens faible à des objets non nécessairement lisses tels que des fonctions, des bords de domaines ou des variétés, par exemple. Nous utiliserons dans ce cours une version simplifiée du problème de Plateau de dimension 1, de manière à introduire plusieurs concepts accessibles à un niveau M1-math tels que les mesures de Hausdorff, la réctifiabilité, ou le théorème de différentiation de Lebesgue. Nous appliquerons ensuite ces outils pour étudier l’existence et la régularité du problème de Plateau de dimension 1, faisant là un cas d’école intéressant en calcul des variations.
Yannick Privat
IECL
Univ. Lorraine
Cours 3h
Introduction au contrôle optimal
Nous introduirons la théorie du contrôle des systèmes différentiels, une sous-discipline du calcul des variations qui vise à déterminer les trajectoires optimales d’un système dynamique afin de le conduire vers un état cible. Cette théorie trouve des applications variées en ingénierie, économie et biologie, telles que la régulation de la température d’un four industriel, l’optimisation de portefeuilles financiers ou la gestion de la croissance d’une population. Nous explorerons notamment le concept de contrôlabilité, qui détermine si un état donné peut être atteint à partir d’une condition initiale, ainsi que la recherche de contrôles de norme minimale. Ces notions sont liées à des propriétés de surjectivité d’opérateurs linéaires et à des problèmes d’optimisation en dimension infinie. Enfin, nous illustrerons ces concepts avec un modèle simplifié de contrôle d’un véhicule spatial.
Gisella Croce
SAMM
Univ. Paris 1
Cours 3h
Minimisation de l’intégrale de Dirichlet
Les problèmes à l’origine du calcul des variations portent sur la minimisation d’une « intégrale d’action », dépendante de fonctions définies sur un intervalle réel. Des exemples sont la trajectoire d’une particule écrite en fonction du temps ou alors la paramétrisation d’une courbe dans le plan. L’approche dite classique consiste à écrire la variation première de ces intégrales d’action et à trouver les fonctions qui la rendent nulle, autrement dit, à résoudre une équation différentielle. Les variations successives peuvent aider à déterminer la nature de ces « points critiques ». Dans la minimisation de l’énergie de Dirichlet, c’est-à-dire, de l’intégrale du carré de la dérivée, on a introduit les « méthodes directes », qui consistent à montrer l’existence d’un minimiseur dans un espace de fonctions suffisamment grand et ensuite en étudier la régularité. Dans ce mini-cours, nous appliquerons les méthodes directes pour minimiser une famille de
fonctionnelles intégrales assez générale et en donnerons plusieurs exemples.
Programme
Lundi 20 janvier
Mardi 21 janvier
Mercredi 22 janvier
Jeudi 23 janvier
Vendredi 24 janvier4
9h – 9h30
Petit-déjeuner
(Amphi 3)
9h30 – 11h
Laurent Mazet
Surfaces minimales de R^3, II
9h00 – 9h30
Petit-déjeuner
(Amphi 3)
9h30-11h
Nicolas Marque
Géodésiques, relativité et trous noirs, III
9h – 9h30
Petit-déjeuner
(Amphi 3)
9h30 – 11h
Antoine Lemenant
Introduction à la théorie de la mesure géométrique et au calcul des variations, I
9h – 9h30
Petit-déjeuner
(Amphi 3)
9h30 – 11h
Antoine Lemenant
Introduction à la théorie de la mesure géométrique et au calcul des variations, II
11h15-12h15
Nicolas Marque
Géodésiques, relativité et trous noirs, II
11h15-12h15
Federica Fanoni
Surfaces hyperboliques et leurs géodésiques, III
11h15 – 12h15
Gisella Croce
Minimisation de l’intégrale de Dirichlet, II
11h15 – 12h15
Gisella Croce
Minimisation de l’intégrale de Dirichlet, III
Pause déjeuner
13h
Accueil Masterclass Géométrie
(Amphi 3)
13h30 – 15h
Samuel Tapie
Géodésiques, relativité et trous noirs, I
13h30-15h
Federica Fanoni
Surfaces hyperboliques et leurs géodésiques, II
15h-15h15
Samuel Tapie
Présentation du M2 MFA 2025-2026
13h-13h30
Accueil Masterclass EDP
13h30 – 15h
Antoine Henrot
Géométrie spectrale et optimisation, I
13h30 – 15h
Yannick Privat
Introduction au contrôle optimal, II
15h30-17h
Federica Fanoni
Surfaces hyperboliques et leurs géodésiques, I
15h45-17h15
Laurent Mazet
Surfaces minimales de R^3, III
15h30 – 17h
Yannick Privat
Introduction au contrôle optimal, I
15h30 – 17h
Antoine Henrot
Géométrie spectrale et optimisation, II
17h15-18h15
Laurent Mazet
Surfaces minimales de R^3, I
17h15 – 18h15
Gisella Croce
Minimisation de l’intégrale de Dirichlet, I
17h15 – 17h30
Samuel Tapie
Présentation du M2 MFA 2025-2026
Institut Élie Cartan de Lorraine
20 au 24 janvier 2025
Contact
Site de Nancy
Faculté des Sciences et Technologies
Campus, Boulevard des Aiguillettes
54506 Vandœuvre-lès-Nancy
Du lundi au vendredi
Inscription
L’inscription à la masterclass est gratuite mais obligatoire pour des questions d’organisation.
Nous pouvons couvrir les frais de logement d’un certain nombre de participantes et participants en chambre individuelles de résidence universitaire. Merci de le préciser dans votre inscription, en l’accompagnant d’une lettre de motivation pour votre participation à cette masterclass. Les demandes seront examinées par ordre d’arrivée.
Nous ne pouvons pas financer le trajet vers Nancy des participants. Merci de vous rapprocher du laboratoire de mathématique ou du département de mathématique de votre université : c’est le plus souvent possible qu’ils financent votre trajet. Nous disposons de quelques bourses de voyages pour des situations exceptionnelles, merci de détailler votre situation si vous pensez pouvoir en bénéficier.
Les inscriptions avec demande de financement sont ouvertes jusqu’au 10 novembre 2024. Les inscriptions sans demande de financement sont ouvertes jusqu’au 10 décembre 2024.
17h15 – 18h15
Yannick Privat
Introduction au contrôle optimal, I
